Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Al.Koutsouridis · #1

Με αφορμή το ντοκιμαντέρ για τον Perelman [url=http://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=42&t=57882]εδώ[/url]. Ας δούμε τα θέματα της ολυμπιάδας (2014) του λυκείου στο οποίο υπήρξε μαθητής.

[b]Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2014 [/b]

[b]1.[/b] Ο Πέτρος και ο Βασίλης παίζουν ένα παιχνίδι. Τα παιδιά με την σειρά (ξεκινάει ο Πέτρος) σημειώνουν μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς, που δεν υπερβαίνουν το 1000. Δεν επιτρέπεται να σημειώσουν έναν ήδη σημειωμένο αριθμό, καθώς και οποιοδήποτε αριθμό που διαφέρει από κάποιο σημειωμένο κατά 1 ή που να δίνει με κάποιο σημειωμένο άθροισμα 1001. Αυτός που δεν μπορεί να κάνει κίνηση, χάνει. Ποιος έχει στρατηγική νίκης;

[b]2.[/b] Δίνεται περιγράψιμο τετράπλευρο ABCD

. Τα σημεία O_A, O_B, O_C,O_D

είναι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων BCD, CDA,DAB,ABC

αντίστοιχα. Είναι γνωστό, ότι το $O_{A}O_{B}O_{C}O_{D}$ είναι κυρτό τετράπλευρο με τρεις ίσες πλευρές. Να αποδείξετε, ότι το ABCD

είναι ρόμβος.

[b]3.[/b] Οι θετικοί ακέραιοι a,b,c

ικανοποιούν την σχέση a+b+ab = c^2

. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πρώτων μεταξύ αυτών;

[b]4.[/b] Δίνεται γράφος, όλες οι κορυφές του οποίου έχουν βαθμό 3. Είναι γνωστό, ότι για κάθε κορυφή τουλάχιστον δυο εκ των τριών γειτονικών της συνδέονται με ακμή. Να αποδείξετε, ότι οι κορυφές μπορούν να διαμεριστούν σε ζεύγη γειτονικών.

[b]5.[/b] $AA^{‘}$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγώνιου τριγώνου ABC

. Ο εγγεγραμμένος κύκλος κέντρου

αυτού του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών AB, AC, BC

στα σημεία P,Q,R

αντίστοιχα. Η ευθεία $A^{‘}I$ τέμνει το τμήμα

στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι $RT \perp PQ$ .

[b]6.[/b] Το άθροισμα των θετικών αριθμών a, b, c

είναι ίσο με τρία. Να αποδείξετε την ανισότητα

$\dfrac{1}{\sqrt {ab}}+ \dfrac{1}{\sqrt {bc}}+\dfrac{1}{\sqrt {ca}} +3 \leq \dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$ .

[b]7.[/b] Θα ονομάσουμε τον μη μηδενικό φυσικό αριθμό «καλό», αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα δυο πρώτων μεταξύ τους φυσικών, καθένας εκ των οποίων γράφεται σαν γινόμενο περιττού πλήθους πρώτων αριθμών (όχι απαραίτητα διαφορετικών). Να αποδείξετε, ότι υπάρχουν άπειροι καλοί κύβοι φυσικών αριθμών.

[b]8.[/b] Δίνεται τετράγωνο $k \times k$ . Τα κελία του οποίου χρωματίζονται με

χρώματα έτσι, ώστε σε κάθε στήλη και κάθε γραμμή τα χρώματα όλων των κελιών να είναι διαφορετικά. Καμία τετράδα κελιών που βρίσκεται στην τομή δυο γραμμών και δυο στηλών, δεν μπορεί να είναι χρωματισμένη με ακριβώς τρία χρώματα. Με τι μπορεί να ισούται το

;

[size=85]Υγ. Η ολυμπιάδα αυτή είναι σαν συμπληρωματική της αντίστοιχης της μαθηματικής ολυμπιάδας της Α. Πετρούπολης, η ύλη της είναι πιο ανοιχτή συμπεριλαμβάνει αυτή των ολυμπιάδων και μαθηματικών ομίλων. Είναι ανοιχτή, αλλά συμμετέχουν περίπου 100 παιδιά κυρίως δυνατοί μαθητές. Τα θέματα είναι πιο δύσκολα από αυτά της ολυμπιάδας της πόλης. Η εξέταση είναι προφορική με διάρκεια νομίζω 5 ώρες.

[url=http://www.239.ru/mathcenter?page=1]Πηγή[/url][/size]

JimNt. · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Με αφορμή το ντοκιμαντέρ για τον Perelman εδώ. Ας δούμε τα θέματα του 2014 του λυκείου στο οποίο υπήρξε μαθητής.

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πέτρούπολης για τις τάξεις 8η και 9η , 2014

6. Το άθροισμα των θετικών αριθμών είναι ίσο με τρία. Να αποδείξετε την ανισότητα

$\dfrac{1}{\sqrt {ab}}+ \dfrac{1}{\sqrt {bc}}+\dfrac{1}{\sqrt {ca}} +3 \leq \dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$ .

Πηγή

Αξιοποιώντας το ότι $abc\le (\dfrac{a+b+c}{3})^3=1$ και έπειτα από πράξεις φτάνουμε στην $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le a+b+c$ . Από ΑΜ-ΓΜ $\sqrt{a}\le (a+1)/2$ προσθέτωντας κυκλικά παίρνουμε $LHS\le \dfrac{a+b+c+3}{2}=\dfrac{6}{2}=3=a+b+c$ , το ζητούμενο.

Ορέστης Λιγνός · #3

Al.Koutsouridis έγραψε:
3. Οι θετικοί ακέραιοι ικανοποιούν την σχέση . Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πρώτων μεταξύ αυτών;

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε

πρώτους.

Καταρχήν, ας ξεκαθαρίσουμε τις περιπτώσεις a=2

ή

.

Αν

, $c^2=3b+2 \equiv 2(\bmod 3)$ , άτοπο.

Όμοια αν b=2

.

Άρα

περιττοί πρώτοι.

Η εξίσωση γράφεται (a+1)(b+1)=c^2+1

(προσθέτουμε

σε κάθε μέλος και παραγοντοποιούμε).

Αφού a,b

περιττοί, το (a+1)(b+1)

διαιρείται από το $2 \cdot 2=4$ , άρα $c^2+1 \equiv 0(\bmod 4) \Leftrightarrow c^2 \equiv 3(\bmod 4)$ , άτοπο.

Έτσι, έχουμε το πολύ

πρώτους.

Άρα, η απάντηση είναι

, και λαμβάνεται όταν π.χ. $a=12, \, b=73, \, c=31$ .

Al.Koutsouridis · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:
3. Οι θετικοί ακέραιοι ικανοποιούν την σχέση . Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πρώτων μεταξύ αυτών;

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε πρώτους.

Καταρχήν, ας ξεκαθαρίσουμε τις περιπτώσεις ή .

Αν , $c^2=3b+2 \equiv 2(\bmod 3)$ , άτοπο.

Όμοια αν .

Άρα περιττοί πρώτοι.

Η εξίσωση γράφεται (προσθέτουμε σε κάθε μέλος και παραγοντοποιούμε).

Αφού περιττοί, το διαιρείται από το $2 \cdot 2=4$ , άρα $c^2+1 \equiv 0(\bmod 4) \Leftrightarrow c^2 \equiv 3(\bmod 4)$ , άτοπο.

Έτσι, έχουμε το πολύ πρώτους.

Άρα, η απάντηση είναι , και λαμβάνεται όταν π.χ. $a=12, \, b=73, \, c=31$ .

Από τα προβλήματα που η εύρεση παραδείγματος είναι εφάμιλλη της δυσκολίας της επίλυσης.

#5

Όντως, καλό θα ήταν να δούμε και τη μέθοδο με την οποία βγαίνει το παράδειγμα.

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (8/9η τάξη 2014)

Μέλη σε σύνδεση