Ολοκλήρωμα!

Ωmega Man · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

#2

Mancar Camoran έγραψε:Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

Οι πόλοι του παρονομαστή είναι 1/2 και 3/2, δηλαδή βρίσκονται στο εσωτερικό του
κύκλου ολοκλήρωσης. Άρα το ολοκλήρωμα είναι 2πi(άθροισμα των πόλων) .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ωmega Man · #3

Αφού έχει και τις δυο ρίζες στο εσωτερικό του |z|=2

το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $lim_{R\longrightarrow \infty}\int_{|z|=R}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ και άρα είναι ίσο με $\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z}=\pi i$ .

#4

Mancar Camoran έγραψε:Αφού έχει και τις δυο ρίζες στο εσωτερικό του το ολοκλήρωμα είναι ίσο με $lim_{R\longrightarrow \infty}\int_{|z|=R}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ και άρα είναι ίσο με $\frac{1}{2}\int\frac{dz}{z}=\pi i$ .

Εξαιρετική λύση!! Μέχρι στιγμής για τέτοιου είδους ολοκληρώματα χρειαζόταν να κάνω πολλές πράξεις για να τα βγάλω με τις πιθανότητες λάθους να είναι πολύ μεγάλες. (Έπαιρνα branch cut την ευθεία που ενώνει το 1/2 με το 3/2, μετά όριζα με πολλή προσοχή την συνάρτηση ώστε να είναι συνεχής στο $\mathbb{C} \setminus [1/2,3/2]$ και μετά υπολόγιζα τα ολοκληρώματα μικρών κύκλων γύρω από τα 1/2 και 3/2 καθώς και των δύο ευθειών που ενώνουν τους κύκλους, μια λίγο πάντω από τον άξονα των χ και μια λίγο κάτω.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Δεν είναι σωστά αυτά που γράφονται παραπάνω.

Η $f(z)=(4z^{2}-8z+3)^{-\frac{1}{2}}$ ορίζεται σαν ολόμορφη στο

$\mathbb{C}-[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$

Δεν μπορούμε να πάρουμε θεώρημα ολοκληρωτικών υπολοίπων.

dement · #6

Η

έχει υπόλοιπο στο άπειρο $\displaystyle - \frac{1}{2}$ , οπότε το ολοκλήρωμα για αρκετά μεγάλη ακτίνα (ώστε να περικλείει όλο το branch cut [1/2, 3/2]

) είναι όντως $\displaystyle -2 \pi i \times \frac{-1}{2} = \pi i$ .

AlexandrosG · #7

Η ιδέα του να χρησιμοπoιήσει κανείς το υπόλοιπο στο άπειρο είναι όντως πάρα πολύ ωραία. Ένα παρόμοιο πρόβλημα από το Berkeley Problems in Mathematics:

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{|z|=2} \sqrt{z^2-1} \, \mathrm{d}z}$ όπου η ρίζα είναι αυτή που ικανοποιεί $\sqrt{2^2-1}>0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Ωmega Man έγραψε:Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα
$\displaystyle \int_{|z|=2}\frac{dz}{\sqrt{4z^2-8z+3}}$ .

Το ολοκλήρωμα αυτό δεν είναι καλά ορισμένο.
Συγκεκριμένα θέλουμε το ολοκλήρωμα της f(z)

όπου $f^{2}(z)=\dfrac{1}{4z^{2}-8z+3}$
τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν άπειρες.
Αν περιορισθούμε στις συνεχείς (τότε αποδεικνύεται ότι είναι και ολόμορφες)
αυτές είναι δύο.
Αν η μία είναι f(z)

η άλλη είναι -f(z)

.
Ετσι το ολοκλήρωμα είναι $\pi i$ η $-\pi i$ ανάλογα με ποια θα πάρουμε.
Η συνάρτηση για να καθορισθεί χρειάζεται σε ένα σημείο να ορίσουμε ποια από τις δύο ρίζες παίρνουμε.

mathematica.gr

Ολοκλήρωμα!

Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Re: Ολοκλήρωμα!

Μέλη σε σύνδεση