Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#61

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες της σε γεωμετρική πρόοδο είναι .

Ωραία η λύση του Θάνου. Δίνω μία διαφορετική:

Έστω p,q,r

οι ρίζες με pq=r^2

. Από Vieta

$\displaystyle{ \frac {c}{a} = pq +qr+rp= r^2+qr+rp=r(r+q+p) = r\left (-\frac {b}{a} \right )}$ , άρα $\boxed {c=-br}$ , οπότε

$c^3=-b^3r^3=-b^3r^2r = -b^3(pq)r =-b^3 \left (-\frac {d}{a} \right )$ και λοιπά.

Για το αντίστροφο, παρόμοια, αλλά το αφήνω γιατί οι πράξεις είναι πολλές.

#62

ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι .

harrisp · #63

Θα ήθελα να δούμε και ασκήσεις εύρεσης του τύπου πολυωνύμου που πέφτουν και συχνά στον Αρχιμήδη.

Αν γίνεται και αν υπαρχει ας προστεθεί η προαπαιτούμενη θεωρία.

(Βλ. Αρχιμήδης 2012...)

#64

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Θα ήθελα να δούμε και ασκήσεις εύρεσης του τύπου πολυωνύμου που πέφτουν και συχνά στον Αρχιμήδη.

Αν γίνεται και αν υπαρχει ας προστεθεί η προαπαιτούμενη θεωρία.

(Βλ. Αρχιμήδης 2012...)

Λύσε τις προηγούμενες, και θα έλθουμε σε αυτό που ζητάς. Με την σειρά τα πράγματα.

#65

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι .

Ας είναι $\displaystyle{k,l,m,n}$ οι ρίζες.

Είναι

$\displaystyle{kl=mn,}$ ( $\displaystyle{\color{red}\maltese}$ ) οπότε $\displaystyle{(kl)^2=klmn=\frac{e}{a}.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\maltese \maltese}$ ).

Επίσης

$\displaystyle{klm+lmn+mnk+nkl=-\frac{d}{a}\implies kl(m+n)+mn(k+l)=-\frac{d}{a}\stackrel{{\color{red}\maltese}}{\implies }kl(k+l+m+n)=-\frac{d}{a}\implies }$

$\displaystyle{\implies kl\left(-\frac{b}{a}\right)=-\frac{d}{a}\implies kl=\frac{d}{b}.}$

Με αντικατάσταση στην ( $\displaystyle{\color{red}\maltese \maltese}$ ) προκύπτει η ζητούμενη.

#66

Mihalis_Lambrou έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν δύο ρίζες της έχουν γινόμενο όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι .

Και διαφορετικά, το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια της ταυτότητας

$\displaystyle{(klm+lmn+mnk+nkl)^2-klmn(k+l+m+n)^2=(lm-nk)(mk-nl)(kl-mn)}$

από όπου φαίνεται ότι η συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία.

#67

ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις και έχουν κοινή ρίζα, δείξτε .

(Η άσκηση είναι απλή. Παλαιότερα γινόταν ολόκληρη θεωρία με αυτού του είδους τις ασκήσεις, οι οποίες λυνόντουσαν με την λεγόμενη "απαλοίφουσα")

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #68

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Νοέμ 06, 2017 10:05 am ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις και έχουν κοινή ρίζα, δείξτε .

(Η άσκηση είναι απλή. Παλαιότερα γινόταν ολόκληρη θεωρία με αυτού του είδους τις ασκήσεις, οι οποίες λυνόντουσαν με την λεγόμενη "απαλοίφουσα")

Θέτοντας

,

και κάνοντας την διαίρεση έχουμε

$f(x)=(x+a)g(x)+(b-a^{2})x+c-ab$

1περίπτωση. $a^{2}=b$

τότε αφού έχουν κοινή ρίζα θα είναι αναγκαστικά c=ab

Κάνοντας αντικαταστάσεις εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει η c^2 +a^3c +b^3=3abc

.

σχόλιο .Αν ισχύουν οι $a^{2}=b$ , c=ab

τότε έχουν δύο κοινές ρίζες

2περίπτωση. $a^{2}\neq b$

Η κοινή ρίζα θα είναι το $r=\dfrac{c-ab}{a^{2}-b}$

Αν πάρουμε την g(r)=0

και κάνουμε τις πράξεις θα προκύψει η ζητούμενη.

σχόλιο Σε αυτή την περίπτωση αν ισχύει c^2 +a^3c +b^3=3abc

τα πολυώνυμα έχουν ακριβώς μια κοινή ρίζα.

#69

Έστω

μια κοινή ρίζα των δύο εξισώσεων.Τότε, είναι

$\displaystyle x_0^2 + a{x_0} + b = 0,$

οπότε

$\displaystyle x_0^3 + 2ax_0^2 + 2b{x_0} + c = 0 \Rightarrow {x_0}\left( {x_0^2 + a{x_0} + b} \right) + ax_0^2 + b{x_0} + c = 0 \Rightarrow ax_0^2 + b{x_0} + c = 0.$

Επομένως, από τη σχέση $\displaystyle x_0^2 = - a{x_0} - b$ βρίσκουμε ότι

$\displaystyle a\left( { - a{x_0} - b} \right) + b{x_0} + c = 0 \Rightarrow \left( {b - {a^2}} \right){x_0} = ab - c.$

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

$\bullet$ Αν $\displaystyle {b \ne {a^2}}$ , τότε είναι $\displaystyle {x_0} = \frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}}$

και με αντικατάσταση στη σχέση $\displaystyle x_0^2 + a{x_0} + b = 0$ έχουμε ότι

$\displaystyle {\left( {\frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}}} \right)^2} + a\frac{{ab - c}}{{b - {a^2}}} + b = 0 \Rightarrow {\left( {ab - c} \right)^2} + a\left( {ab - c} \right)\left( {b - {a^2}} \right) + b{\left( {b - {a^2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {a^2}{b^2} - 2abc + {c^2} + {a^2}{b^2} - {a^4}b - abc + {a^3}c + {b^3} - 2{a^2}{b^2} + {a^4}b = 0 \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {c^2} + {a^3}c + {b^3} = 3abc.$

$\bullet$ Αν $\displaystyle {b ={a^2}}$ , τότε υποχρεωτικά θα είναι και $\displaystyle c = ab = {a^3},$ οπότε

$\displaystyle {c^2} + {a^3}c + {b^3} = 3{a^6} = 3abc$

και η αποδεικτέα σχέση πάλι ισχύει.

#70

ΑΣΚΗΣΗ 19

Αν η εξίσωση $x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n=0$ έχει ρίζες $r_1, \, ... \, , r_n$ , δείξτε ότι

#71

Έστω $\displaystyle P\left( x \right) = {x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \cdots + {a_0} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {x - {r_k}} \right)} .$

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right) = {a_0} - {a_2} + {a_4} - \cdots$

και

$\displaystyle {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right) = {a_1} - {a_3} + {a_5} - \cdots$ .

Άρα,

$\displaystyle \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 + r_k^2} \right)} = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {{r_k} - i} \right)} \left( {{r_k} + i} \right) = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {i - {r_k}} \right)} \left( { - i - {r_k}} \right) =$

$\displaystyle = \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {i - {r_k}} \right)} \cdot \prod\limits_{k = 1}^n {\left( { - i - {r_k}} \right)} = P\left( i \right)P\left( { - i} \right) = P\left( i \right)\overline {P\left( i \right)} = {\left| {P\left( i \right)} \right|^2} =$

$\displaystyle = {\left[ {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right)} \right]^2} + {\left[ {{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {P\left( i \right)} \right)} \right]^2}$

και το συμπέρασμα έπεται.

#72

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Νοέμ 06, 2017 10:05 am ΑΣΚΗΣΗ 18

Αν οι εξισώσεις και έχουν κοινή ρίζα, δείξτε .

Αν

είναι μια κοινή ρίζα, τότε

0=x^3+2ax^2+2bx+c= x^3+2x(ax+b)+c=x^3+2x(-x^2)+c=-x^3+c

, οπότε

και

$x^2+ax+b=0\Rightarrow (x^2)^3+(ax)^3+b^3=3 x^2 (ax) b\Rightarrow c^2+a^3c+b^3=3abc$

#73

ΑΣΚΗΣΗ 19

Αν δύο ρίζες της ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 έχουν άθροισμα όσο οι άλλες δύο, δείξτε ότι

(δείτε την Άσκηση 17)

#74

Ακολουθώντας το συμβολισμό του Θάνου στην Άσκηση 17:

Έστω $k, \ell, m, n$ οι ρίζες της εξίσωσης. Υποθέτουμε ότι $k +\ell = m+n$ . Τότε, από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι:

$\displaystyle k + \ell + m + n = - \frac{b}{a} \Rightarrow k + \ell = m + n = - \frac{b}{{2a}}$ ,

$\displaystyle k\ell + km + kn + \ell m + \ell n + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow \left( {k + \ell } \right)\left( {m + n} \right) + k\ell + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow {\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + k\ell + mn = \frac{c}{a} \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow k\ell + mn = \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}$

και

$\displaystyle k\ell m + \ell mn + mnk + nk\ell = - \frac{d}{a} \Rightarrow k\ell \left( {m + n} \right) + mn\left( {k + \ell } \right) = - \frac{d}{a} \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow - \frac{b}{{2a}}\left( {k\ell + mn} \right) = - \frac{d}{a} \Rightarrow - \frac{b}{{2a}}\left( {\frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right) = - \frac{d}{a} \Rightarrow b\frac{{4ac - {b^2}}}{{8{a^2}}} = d \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow {b^3} + 8{a^2}d = 4abc.$

Το ζητούμενο δείχθηκε.

#75

Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά για χάρη της πληρότητας της συλλογής. Είναι πολύ απλή άσκηση.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι

Edit: Έκανα διόρθωση στο αποδεικτέο. Ζητώ συγνώμη αν σας ταλαιπώρησα.

KARKAR · #76

Άσκηση 21 ( κατάλληλη και για μαθητές )

Βρείτε εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού

, για τις οποίες το πολυώνυμο :

P(x)=ax^4-(a+2)x^2+a-1

, έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

#77

KARKAR έγραψε: Τρί Νοέμ 07, 2017 5:56 pm Άσκηση 21 ( κατάλληλη και για μαθητές )

Βρείτε εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού , για τις οποίες το πολυώνυμο :

, έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες .

Οι ρίζες της δοθείσας είναι οι $\pm \sqrt {r_1}, \, \pm \sqrt {r_2}$ όπου r_1, r_2

οι ρίζες της $ay^2-(a+2)y+a-1 \, (*)$ . Οπότε για να έχουμε

διαφορετικές πραγματικές ρίζες πρέπει $r_1\ne r_2$ και r_1, r_2 >0

.

Συνεπώς πρέπει η (*)

να ικανοποιεί

1) $a\ne 0$ (δευτεροβάθμια)
2) Διακρίνουσα θετική, που μετά τις πράξεις είναι -3a^2+8a+4>0

, ισοδύναμα μεταξύ των $(4-\sqrt {28})/3, (4+\sqrt {28})/3$
3) άθροισμα ριζών θετικό, άρα (a+2)/a>0

, ισοδύναμα a<-2

ή

4) γινόμενο ριζών θετικό, άρα (a-1)/a>0

, ισοδύναμα a<0

ή

Εύκολα βλέπουμε ότι συναληθεύουν για $1< a < (4+\sqrt {28})/3$ .

#78

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Νοέμ 07, 2017 2:28 pm Στο ίδιο μήκος κύματος αλλά για χάρη της πληρότητας της συλλογής.

ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι ;;

#79

rek2 έγραψε: Τρί Νοέμ 07, 2017 10:18 pm

Κώστα, έχεις δίκιο. 'Εκανα διόρθωση.

#80

Για να κλείνει ας γράψω λύση.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Νοέμ 07, 2017 2:28 pm ΑΣΚΗΣΗ 20

Αν μία ρίζα της είναι ίση με το άθροισμα των άλλων τριών, δείξτε ότι

Έχουμε

οπότε από Vieta είναι $r_1=\frac {1}{2}(r_1+r_2+r_3_+r_4)= -\frac {b}{2a}$ .

Βάζοντας το r_1

αυτό πίσω στην εξίσωση, δίνει το ζητούμενο.

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re:

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση