Προκριματικός Ελβετίας, 2000

#1

Προκριματικός Ελβετίας, 2000

1. Σε ένα κύκλο είναι εγγεγραμμένο κυρτό τετράπλευρο ABCD

.
Δείξτε ότι η χορδή που συνδέει τα μέσα των τόξων

και

είναι κάθετη στη χορδή που συνδέει τα μέσα των τόξων

και

2. Οι πραγματικοί αριθμοί $a_1, a_2, . . . , a_{16}$ ικανοποιούν τις σχέσεις

$\displaystyle{\sum_{i=1}^{16} a_i = 100}$ και $\displaystyle{\sum_{i=1}^{16} a^2_i = 1000.}$

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $a_{16}.$

3.

4. Έστω q(n)

το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού αριθμού

Να βρείτε τον αριθμό $q(q(q(2000^{2000}))).$

5. Χρησιμοποιώντας τα γράμματα I, O, M

σχηματίζουμε όλες τις λέξεις μεγέθους

Πόσες από αυτές δεν περιέχουν γειτονικά

6.

7. Δείξτε ότι η εξίσωση $14x^2+ 15y^2= 7^{2000}$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

8.

9.

10.

11.

12. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

13.

14.Έστω P(x)

πολυώνυμο βαθμού

τέτοιο ώστε $\displaystyle{P(k) =\frac{k}{k + 1}}$ για k = 0, 1, 2, . . . , n.

Βρείτε την τιμή P(n + 1)

15.

KARKAR · #2

Το 1) λύθηκε πρόσφατα εδώ

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2000

7. Δείξτε ότι η εξίσωση $14x^2+ 15y^2= 7^{2000}$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Έχουμε:

$14x^{2}+15y^{2}=7^{2000}\Leftrightarrow 14(x^{2}+y^{2})+y^{2}=7^{2000}$ , άρα y=7k

, με

ακέραιο.

Έχουμε:

$14(x^{2}+49k^{2})+49k^{2}=7^{2000}\Leftrightarrow 2(x^{2}+49k^{2})+7k^{2}=7^{1999}\Leftrightarrow$

$2x^{2}+7\cdot 15k^{2}=7^{1999}$ , άρα x=7l

, με

ακέραιο.

Έχουμε:

$98l^{2}+7\cdot 15k^{2}=7^{1999}\Leftrightarrow 14l^{2}+15k^{2}=7^{1998}$

Καταλήξαμε λοιπόν σε ίδια εξίσωση, μόνο που ο εκθέτης της δύναμης του

έχει μειωθεί κατά

. Άρα, επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, φτάνουμε στο:

$14a^{2}+15b^{2}=1$ , που δεν έχει προφανώς ακέραιες λύσεις.

harrisp · #4

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2000

7. Δείξτε ότι η εξίσωση $14x^2+ 15y^2= 7^{2000}$ δεν έχει ακέραιες ρίζες.

Καλησπέρα σε όλους! Λίγο πιο απλά από τον Διονύση.

Ισχύουν:

$14x^2\equiv 2x^2 (mod 3)$

$15y^2\equiv 0 (mod 3)$

$7^{2000}\equiv 1 (mod 3)$

$x^2\equiv 0,1 (mod 3)$

$0,2\equiv 1 (mod 3)$ , ΑΤΟΠΟ

christodoulos703 · #5

Βασικά,ο

δεν διαιρείται από το 3 αφού τότε ο 3 θα διαιρούσε το δεύτερο μέλος δηλαδή το 7 το οποίο είναι άτοπο.Άρα $x^2\equiv 1 \bmod 3$ και το ζητούμενο αποδεικνύεται όπως έχει γράψει ο Χάρης.

mikemoke · #6

5. Χρησιμοποιώντας τα γράμματα σχηματίζουμε όλες τις λέξεις μεγέθους
Πόσες από αυτές δεν περιέχουν γειτονικά

Φτιάχνουμε πρόοδο A0,A1,A2,...A(n-1),An

με

και

O ζητούμενος αριθμός είναι S=3*An+2*A(n-1)

#7

socrates έγραψε: 5. Χρησιμοποιώντας τα γράμματα σχηματίζουμε όλες τις λέξεις μεγέθους
Πόσες από αυτές δεν περιέχουν γειτονικά

Ας γράψουμε A_n

για το ζητούμενο πλήθος. Υπάρχουν ακριβώς $A_{n-1}$ τέτοιες λέξεις που τελειώνουν σε

και άλλες τόσες που τελειώνουν σε

. Αν μια λέξη τελειώνει σε

σημαίνει ότι το προτελευταίο γράμμα είναι

ή

. Υπάρχουν ακριβώς $A_{n-2}$ τέτοιες λέξεις. Άρα $A_n = 2A_{n-1} + 2A_{n-2}$ .

Οι αρχικές συνθήκες είναι A_1=3

και

. Από αυτά προκύπτει και η αρχική συνθήκη A_0 = 1

.

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η x^2 - 2x - 2 = 0

με λύσεις $x = 1 \pm \sqrt{3}$ . Πρέπει λοιπόν $A_n = A(1+\sqrt{3})^n + B(1-\sqrt{3})^n$ για κάποια A,B

. Από τις αρχικές συνθήκες παίρνουμε A+B = 1

και $(A+B) + (A-B)\sqrt{3} = 3$ . Άρα $\displaystyle{A = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}}$ και $\displaystyle{B = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Οπότε

$\displaystyle{ A_n = \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(1+\sqrt{3})^n + \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)(1-\sqrt{3})^n}$

harrisp · #8

socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2000

12. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Απλά θέτουμε $y=\dfrac {x^2-f(x)}{2}$ και πολύ εύκολα παίρνουμε f(x)=0

ή

#9

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2000

12. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Απλά θέτουμε $y=\dfrac {x^2-f(x)}{2}$ και πολύ εύκολα παίρνουμε ή

Χάρη, αυτό που έχεις δείξει μέχρι στιγμής είναι ότι για κάθε $a \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι f(a)=a^2

ή

.

Από το πιο πάνω δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι f(x) = x^2

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ή f(x) = 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Θα μπορούσε π.χ. να είναι f(x) = x^2

για $x \geqslant 0$ και f(x) = 0

για

. Πρέπει να ελέγξεις αν αυτή καθώς και πολλές άλλες συναρτήσεις ικανοποιούν την εξίσωση.

harrisp · #10

Demetres έγραψε:
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
socrates έγραψε:Προκριματικός Ελβετίας, 2000

12. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Απλά θέτουμε $y=\dfrac {x^2-f(x)}{2}$ και πολύ εύκολα παίρνουμε ή
Χάρη, αυτό που έχεις δείξει μέχρι στιγμής είναι ότι για κάθε $a \in \mathbb{R}$ ισχύει ότι ή .

Από το πιο πάνω δεν μπορείς να συμπεράνεις ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ή για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Θα μπορούσε π.χ. να είναι για $x \geqslant 0$ και για . Πρέπει να ελέγξεις αν αυτή καθώς και πολλές άλλες συναρτήσεις ικανοποιούν την εξίσωση.

Εχετε δίκιο, αβλεψία μου.
Θα την διορθώσω μέχρι αύριο.

harrisp · #11

Παρόμοιο με το 14) υπάρχει εδώ

http://www.cms.org.cy/assets/files/2016 ... 05_Pro.pdf

Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Re: Προκριματικός Ελβετίας, 2000

Μέλη σε σύνδεση