Ισότητα εμβαδών

p_gianno · #1

Στο σχήμα είναι ABCD

παραλληλόγραμμο και

σημείο στην προέκταση της

.

Η

τέμνει την

στο

ενώ

είναι το σημείο τομής των ZD,BE

.

Να δειχθεί ότι (ZHE)=(BCDH)

: Ισότητα εμβαδών.png (22.64 KiB) Προβλήθηκε 1408 φορές

#2

p_gianno έγραψε:Στο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της . Η τέμνει την στο ενώ είναι το σημείο τομής των . Να δειχθεί ότι

Στο σχήμα του Παναγιώτη

$\left\{ \begin{gathered} \left( {AHZ} \right) + \left( {AHD} \right) = \left( {ADZ} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2} \\ \left( {BCH} \right) + \left( {AHD} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {AHZ} \right) = \left( {BCH} \right)}:\left( 1 \right)$ και ομοίως $\boxed{\left( {AHE} \right) = \left( {DCH} \right)}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {EHZ} \right) = \left( {BCDH} \right)}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

Επειδή $\vartriangle EZC \approx \vartriangle EAD$ θα έχω : $\dfrac{{ZC}}{{AD}} = \dfrac{{EC}}{{ED}} \Leftrightarrow \dfrac{{x + a}}{a} = \dfrac{{y + b}}{y} \Leftrightarrow \boxed{xy = ab}\,\,(1)$

: ισότητα εμβαδών_1.png (23.35 KiB) Προβλήθηκε 1355 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{(EBC)}}{{(EZB)}} = \frac{{BC}}{{BZ}} = \frac{a}{x} \hfill \\ \frac{{(ZDC)}}{{(ZDE)}} = \frac{{DC}}{{DE}} = \frac{b}{y} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ {\dfrac{{(EBC)}}{{(ZDE)}}} \right. \cdot \dfrac{{(ZDC)}}{{(EZB)}} = \dfrac{{ab}}{{xy}} = 1$ . Ας υποθέσουμε ότι π.χ.

$\dfrac{{(EBC)}}{{(ZDE)}} > 1$ τότε αναγκαστικά $\dfrac{{(ZDC)}}{{(EZB)}} < 1$ οπότε ταυτόχρονα θα έχω :

$\left\{ \begin{gathered} (EBC) > (ZDE) \hfill \\ (ZDC) < (EZB) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {E_2} + (EHD) > {E_1} + (EHD \hfill \\ {E_2} + (HBZ) < {E_1} + (HBZ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {E_2} > {E_1} \hfill \\ {E_2} < {E_1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ άτοπο , άρα $\boxed{{E_1} = {E_2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

p_gianno έγραψε:Στο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της .

Η τέμνει την στο ενώ είναι το σημείο τομής των .

Να δειχθεί ότι

Ισότητα εμβαδών.png

Στο σχήμα της εκφώνησης

Είναι, $\displaystyle{\left( {EZH} \right) = \left( {EZD} \right) - \left( {EHD} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {HDCB} \right) = \left( {EBC} \right) - \left( {EHD} \right)}$ .Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\left( {EZD} \right) = \left( {EBC} \right)}$

$\displaystyle{\left( {EZD} \right) = \left( {EAD} \right) + \left( {AZD} \right) = \left( {EAD} \right) + \left( {ADC} \right)(1)}$ και $\displaystyle{\left( {EBC} \right) = \left( {EAC} \right) = \left( {EAD} \right) + \left( {ADC} \right)(2)}$

Από $\displaystyle{(1)}$ , $\displaystyle{(2)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\left( {EZD} \right) = \left( {EBC} \right)}}$

Ιστοσελίδα · #5

p_gianno έγραψε:Στο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της .

Η τέμνει την στο ενώ είναι το σημείο τομής των .

Να δειχθεί ότι

Καλημέρα και καλή Ανάσταση σε όλους!

: Ισότητα-εμβαδών.png (25.06 KiB) Προβλήθηκε 1300 φορές

$\begin{array}{l} (AZB) = (DZB)\,\\ (EAB) = (BCD) \end{array}$
και με πρόσθεση κατά μέλη $(EZB) = (DZC) \Leftrightarrow (EZB) - (HZB) = (DZC) - (HZB)$ $\Leftrightarrow (ZHE) = (BCDH)$

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
p_gianno έγραψε:Στο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο και σημείο στην προέκταση της .

Η τέμνει την στο ενώ είναι το σημείο τομής των .

Να δειχθεί ότι

Καλημέρα και καλή Ανάσταση σε όλους!Ισότητα-εμβαδών.png
$\begin{array}{l} (AZB) = (DZB)\,\\ (EAB) = (BCD) \end{array}$
και με πρόσθεση κατά μέλη $(EZB) = (DZC) \Leftrightarrow (EZB) - (HZB) = (DZC) - (HZB)$ $\Leftrightarrow (ZHE) = (BCDH)$

p_gianno · #7

Καλή Ανάσταση σε όλους
[attachment=0]ΙσότηταΕμβαδών.png[/attachment]
Αρκεί (ZDE)=(BEC)

. Πράγματι

$(ZDE)=\dfrac{ED}{EC} (ZCE)$ (1) και $(BEC)= \dfrac{BC}{ZC} (ZCE)$ (2). Όμως

$\dfrac{ED}{EC}= \dfrac{EA}{EZ}= \dfrac{BC}{ZC}$ (3) (λόγω των παραλληλιών)

Από 1,2,3 έπεται το ζητούμενο.

p_gianno · #8

: Ισότητα Εμβαδών (2).png (23.56 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Αρκεί . Πράγματι

(ZBE)=(ZBA)+(ABE)=(ZBA)+(BAC)=(ZAC)=(ZDC)

οεδ

Ισότητα εμβαδών

Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Re: Ισότητα εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση