Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Key Stage II 2017

[Demetres]

(Ο διαγωνισμός απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού και δεν έχει σχέση με τον αντίστοιχο διαγωνισμό για φοιτητές.)

Πρόβλημα 1

(α) Να κάνετε τις πράξεις:



(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:



Πρόβλημα 2

(α) Να λύσετε την εξίσωση



(β) Τρεις φίλοι Α,Β και Γ κρατούν συνολικά €500. Αν ο Α δώσει €6 στον Β, τότε ο Α θα κρατεί διπλάσια χρήματα από τον Β. Αν μετά την συναλλαγή των Α και Β, ο Β δώσει €6 στον Γ, τότε οι Β και Γ θα κρατούν το ίδιο ποσό χρημάτων. Να βρείτε πόσα χρήματα κρατούσε ο καθένας αρχικά.

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο με εμβαδόν . Τα και είναι σημεία της διαγωνίου του , τέτοια ώστε .

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου.

Problem3.png (23.02 KiB) Προβλήθηκε 3222 φορές

Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ -. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.

Πρόβλημα 5

Συμπληρώστε το πιο κάτω «μαγικό» πεντάγωνο, έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του το άθροισμα των τριών αριθμών στους κύκλους να είναι ίσο με .

(Να φαίνεται καθαρά ο τρόπος με τον οποίο εργαστήκατε για να βρείτε το αποτέλεσμα.)

Problem5.png (38.87 KiB) Προβλήθηκε 3222 φορές

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

1

Κύριε Δημήτρη χρόνια πολλά. Νομίζω υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος!

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 1

(α) Να κάνετε τις πράξεις:



(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Παρατηρώ ότι σε κάθε αφαίρεση, η διαφορά είναι . Κάθε μειωτέος έχει διαφορά με τον επόμενο μειωτέο .
Συνολικά υπάρχουν δηλαδή αφαιρέσεις. Άρα

και

H

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 2

(α) Να λύσετε την εξίσωση



(β) Τρεις φίλοι Α,Β και Γ κρατούν συνολικά €500. Αν ο Α δώσει €6 στον Β, τότε ο Α θα κρατεί διπλάσια χρήματα από τον Β. Αν μετά την συναλλαγή των Α και Β, ο Β δώσει €6 στον Γ, τότε οι Β και Γ θα κρατούν το ίδιο ποσό χρημάτων. Να βρείτε πόσα χρήματα κρατούσε ο καθένας αρχικά.

Αν ο δώσει 6€ στον και τότε έχει τα διπλάσια από τον έχω την παρακάτω εξίσωση:



Αν ο δώσει στον τα λεφτά που πήρε από τον και τότε , έχω την παρακάτω εξίσωση:



Από έχω:



Από έχω την εξίσωση:



Επομένως και

[george visvikis]

Παρατηρώ ότι σε κάθε αφαίρεση, η διαφορά είναι . Κάθε μειωτέος έχει διαφορά με τον επόμενο μειωτέο . Επίσης, κάθε φορά που προστίθενται

(με την αφαίρεση), η απόσταση από τους μειωτέους αυξάνεται κατά . Αφού , έχω ότι

Γεια σου Νικόλα και Χρόνια Πολλά!

Πέρα από το λαθάκι(δεν το λαμβάνω υπόψη μου) στην αφαίρεση αντί υπάρχει και ένα άλλο λάθος στον υπολογισμό.

Για να σε βοηθήσω θα πάρω κάποιους αρχικούς όρους:

αλλά και και όχι Σκέψου τι άλλο μπορεί να συμβαίνει.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Γεια σου Νικόλα και Χρόνια Πολλά!

Πέρα από το λαθάκι(δεν το λαμβάνω υπόψη μου) στην αφαίρεση αντί υπάρχει και ένα άλλο λάθος στον υπολογισμό.

Για να σε βοηθήσω θα πάρω κάποιους αρχικούς όρους:

αλλά και και όχι Σκέψου τι άλλο μπορεί να συμβαίνει.

Κύριε Γιώργο χρόνια πολλά! Νομίζω πως τώρα είναι σωστή!

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ -. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.

Αφού στο πρώτο ημίχρονο σημειώθηκαν διψήφιοι αριθμοί πόντων και λιγότεροι του δεύτερου ημιχρόνου, έχω ότι η και η ομάδες σκόραραν:

και .

Σε περίπτωση που η σκόραρε πόντους, η μπορεί να έχει σκοράρει από μέχρι πόντους, δηλαδή πιθανά σκορ.

Σε περίπτωση που η σκόραρε πόντους, η μπορεί να έχει σκοράρει από μέχρι πόντους (εκτός του 11), δηλαδή πιθανά σκορ.

Σε περίπτωση που η σκόραρε πόντους, η μπορεί να έχει σκοράρει από μέχρι πόντους (εκτός του 12), δηλαδή πιθανά σκορ.

Κάθε φορά βρίσκουμε , εξαιρώντας το σκορ της αντίπαλης ομάδας γιατί υπήρξε νικητής. Όταν η σκοράρει ή ή τα πιθανά σκορ είναι .

Άρα τα πιθανά σκορ είναι:

[Demetres]

1

Κύριε Δημήτρη χρόνια πολλά. Νομίζω υπάρχει ένα τυπογραφικό λάθος!

Ασφαλώς και είναι τυπογραφικό. Ευχαριστώ που το πρόσεξες. Το διόρθωσα.

[Demetres]

Πρόβλημα 4

Ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ δύο ομάδων Α και Β έληξε με σκορ -. Στο πρώτο ημίχρονο υπήρξε νικητής και η κάθε ομάδα σημείωσε διψήφιο αριθμό πόντων. Και οι δύο ομάδες σημείωσαν περισσότερους πόντους στο δεύτερο ημίχρονο από ότι στο πρώτο ημίχρονο.

Να βρείτε πόσα είναι όλα τα πιθανά σκορ του πρώτου ημιχρόνου.

Αφού στο πρώτο ημίχρονο σημειώθηκαν διψήφιοι αριθμοί πόντων και λιγότεροι του δεύτερου ημιχρόνου, έχω ότι η και η ομάδες σκόραραν:

και .

Ας δούμε και ένα διαφορετικό τρόπο για να συνεχίσει:

Όλα τα πιθανά σκορ, συμπεριλαμβανομένων και των ισοπαλιών είναι . Από αυτά αφαιρούμε τις πιθανές ισοπαλίες. Άρα συνολικά έχουμε πιθανά σκορ.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Ας δούμε και ένα διαφορετικό τρόπο για να συνεχίσει:

Όλα τα πιθανά σκορ, συμπεριλαμβανομένων και των ισοπαλιών είναι . Από αυτά αφαιρούμε τις πιθανές ισοπαλίες. Άρα συνολικά έχουμε πιθανά σκορ.

[Demetres]

Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;

Στην τελική απάντηση είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί ακέραιοι. Η εκφώνηση όμως δεν απαγορεύει κάποιοι από τους αριθμούς να είναι αρνητικοί ή μηδενικοί.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Σχετικά με το θέμα 5ο, μπορούν να μπουν και αρνητικοί ή μηδενικοί αριθμοί;

Στην τελική απάντηση είναι όλοι οι αριθμοί θετικοί ακέραιοι. Η εκφώνηση όμως δεν απαγορεύει κάποιοι από τους αριθμούς να είναι αρνητικοί ή μηδενικοί.

Κατάλαβα.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 5

Συμπληρώστε το πιο κάτω «μαγικό» πεντάγωνο, έτσι ώστε σε κάθε πλευρά του το άθροισμα των τριών αριθμών στους κύκλους να είναι ίσο με .

Problem5.png (35.8 KiB) Προβλήθηκε 2911 φορές

Αν σε κάθε σειρά το άθροισμα είναι , έχω:







Τα προσθέτω κατά μέλη και έχω ότι:



Από

Άρα και

[Demetres]

Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.

Νομίζω το έχω λύσει. Τα τρίγωνα ΗΙΓ και ΑΕΗ είναι ισόπλευρα;

[nikkru]

Ωραία. Έμεινε μόνο το 3. Δεν είναι δύσκολο.

Νομίζω το έχω λύσει. Τα τρίγωνα ΗΙΓ και ΑΕΗ είναι ισόπλευρα;

Όχι, δεν είναι ισόπλευρα.

Παρατήρησε τι κοινό έχουν τα τρίγωνα που απαρτίζουν το σκιασμένο χωρίο (σε σχέση με τον υπολογισμό του εμβαδού τους ).

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Όχι, δεν είναι ισόπλευρα.

Παρατήρησε τι κοινό έχουν τα τρίγωνα που απαρτίζουν το σκιασμένο χωρίο (σε σχέση με τον υπολογισμό του εμβαδού τους ).

Τώρα είδα πως δεν είναι απαραίτητα ισόπλευρα. Θα ξαναδοκιμάσω και θα απαντήσω σε λίγο...

[Κατερινόπουλος Νικόλας]

Πρόβλημα 3

Στο πιο κάτω σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο με εμβαδόν . Τα και είναι σημεία της διαγωνίου του , τέτοια ώστε .

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου.

Problem3.png (62.48 KiB) Προβλήθηκε 2812 φορές

Τέμνω τα σημεία με τα . Φέρνω ύψος από το , κοινό για τα . Αφού έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη, είναι ισοεμβαδικά.

Συνολικά στο υπάρχουν ισοεμβαδικά τρίγωνα. Άρα, το εμβαδόν της σκιασμένου χωρίου είναι:

[Mihalis_Lambrou]

Συνολικά στο υπάρχουν ισοεμβαδικά τρίγωνα.

Προσοχή εδώ.

Έχεις δείξει ότι τα έξι τρίγωνα πάνω από την διαγώνιο, δηλαδή τα , είναι ισεμβαδικά. Όμοια είναι ισεμβαδικά και τα έξι τρίγωνα κάτω από την διαγώνιο. Όμως ισχυρίστηκες ότι καθένα από τα έξι πρώτα είναι ισεμβαδικό καθένα από τα έξι δεύτερα, σύνολο . Αυτό, αν και σωστό, χρειάζεται αιτιολόγιση καθώς είναι ουσιαστικό μέρος του συλλογισμού.

Να το θέσω αλλιώς: Πουθενά δεν χρησιμοποίησες ότι το δοθέν είναι παραλληλόγραμμο. Άρα, είτε απέδειξες κάτι γενικότερο από ότι ζητά η άσκηση, είτε ο συλλογισμός σου έχει κενό. Όμως το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι δεν είναι σωστό το συμπέρασμα αν δεν υποθέσουμε ότι ξεκινήσαμε από παραλληλόγραμμο. Συνεπώς κάπου πρέπει να το χρησιμοποιήσεις.
.