Oops

erxmer · #1

Έστω παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση ${\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm f}(1)=\ln 5$ και

$\displaystyle{e^{\frac{{\mathrm f}(x)}{x}} \cdot (x\,{\mathrm f}'(x)-{\mathrm f}(x))=2x^3}$ για κάθε $x \neq 0$ .

1) Να αποδειχθεί ότι ${\mathrm f}(x)=x\cdot\ln(x^2+4),\,x \in \mathbb{R}$ .

2) Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η συνάρτηση ${\mathrm f}^{-1}$ στο $\mathbb{R}$ .

3) Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση

$\displaystyle{x\cdot\ln(x^4+4)=\ln(x^2+4).}$

4) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ${\mathrm g}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm g}(0)=0$ και ${\mathrm g}'(x)=\ln(x^2+4)$ , τον άξονα x'x

και την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

$\displaystyle{{\mathrm h}(x)=\frac{sinx}{(e^{x-2}-1)\cdot\ln(x-2)},\,x\in\left(2,\frac{5}{2}\right).}$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Έστω παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση ${\mathrm f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm f}(1)=\ln 5$ και

$\displaystyle{e^{\frac{{\mathrm f}(x)}{x}} \cdot (x\,{\mathrm f}'(x)-{\mathrm f}(x))=2x^3}$ για κάθε $x \neq 0$ .

1) Να αποδειχθεί ότι ${\mathrm f}(x)=x\cdot\ln(x^2+4),\,x \in \mathbb{R}$ .

2) Να αποδειχθεί ότι ορίζεται η συνάρτηση ${\mathrm f}^{-1}$ στο $\mathbb{R}$ .

3) Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση

$\displaystyle{x\cdot\ln(x^4+4)=\ln(x^2+4).}$

4) Να υπολογισθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ${\mathrm g}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\mathrm g}(0)=0$ και ${\mathrm g}'(x)=\ln(x^2+4)$ , τον άξονα και την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

$\displaystyle{{\mathrm h}(x)=\frac{sinx}{(e^{x-2}-1)\cdot\ln(x-2)},\,x\in\left(2,\frac{5}{2}\right).}$

(α) Χωρίς λύση προς το παρόν.
(β) Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο
$\displaystyle{f'(x) = \frac{2x^2}{x^2+4} + \ln \left ( x^2+4 \right ) \geq 0 }$ κατά συνέπεια η

είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς ορίζεται η αντίστροφη.

(γ) Έχουμε:
$\displaystyle{x \ln \left ( x^2+4 \right ) = \ln \left ( x^2+4 \right ) \overset{\ln \left ( x^2+4 \right ) \neq 0}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} x =1}$ (δ) Α? Οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της

είναι οι

και

. Ποια να πάρω;

Ratio · #3

(δ) Α? Οι κατακόρυφες ασύμπτωτες της είναι οι και . Ποια να πάρω;

Σύμφωνα με το διάστημα $x \in (2,\frac{5}{2})$
μάλλον θα εννοεί την x=2

#4

Tolaso J Kos έγραψε:
(α) Χωρίς λύση προς το παρόν.

Υπόδειξη: Διαίρεσε και τα δύο μέλη με το x^2

.

Tolaso J Kos έγραψε:κατά συνέπεια η είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς ορίζεται η αντίστροφη.

Δεν τελειώνει εκεί. Η άσκηση ζητά να αποδείξεις ότι είναι αντιστρέψιμη σε ολόκληρο το $\mathbb R$ . Δεν είναι δύσκολο.

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{x \ln \left ( x^{\color {red}2}+4 \right ) = \ln \left ( x^2+4 \right )$

Προσοχή, η προς επίλυση εξίσωση είναι άλλη.

Tolaso J Kos · #5

Ratio έγραψε:Σύμφωνα με το διάστημα $x \in (2,\frac{5}{2})$
μάλλον θα εννοεί την

Όχι δεν υπάρχει θέμα εδώ τελικά. Είναι ξεκαθαρό ότι θα πάρουμε τη x=2

. Όμως όταν κάνουμε παράγοντες δε θέλουμε το g(2)

; Βγαίνει κάπως ή παραβλέπω ( λόγω κούρασης ) πράγματα ;

Ratio · #6

1. Διαιρούμε με x^2

$e^\frac{f(x)}{x}(xf'(x)-f(x))=2x^3\Leftrightarrow (x\neq 0)\\\\\Leftrightarrow e^\frac{f(x)}{x}\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=2x\Leftrightarrow e^\frac{f(x)}{x}\left [ \frac{f(x)}{x} \right ]'=(x^2)'\\\\\Leftrightarrow \left [ e^\frac{f(x)}{x} \right ]'=(x^2)'\Leftrightarrow f(x)=xln(x^2+c1)$ ,
για x<0

και

, για

$f(x)=\left\{\begin{matrix} xln(x^2+c1)) & x\in(-\infty,0) & \\ a & x=0 & \\ xln(x^2+c2) & x\in(0,+\infty) & \end{matrix}\right.$

H f(x)

είναι περιττή άρα $f(-x) = -f(x)=\Lefrightarrow f(x)+f(-x)=0$ οπότε για x=0

άρα

Η

είναι συνεχής , επομένως $\lim_{x\to -x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c1) =f(-x_{0})\\\\\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c2) =f(x_{0})\\\\ f(-x_{0})=-f(x_{0})\Leftrightarrow -x_{0}ln((x_{0})^2+c1)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c2)\\\\\Leftrightarrow (x_{0}\neq 0)\Leftrightarrow ln((x_{0})^2+c1)=((x_{0})^2+c2)\\\\\Leftrightarrow c1=c2$

Εύκολα αποδεικνύεται ότι c1=c2=4

εφόσον από τα δεδομένα f(1)=ln5

Ratio · #7

Tolaso J Kos έγραψε:
Ratio έγραψε:Σύμφωνα με το διάστημα $x \in (2,\frac{5}{2})$
μάλλον θα εννοεί την
Όχι δεν υπάρχει θέμα εδώ τελικά. Είναι ξεκαθαρό ότι θα πάρουμε τη . Όμως όταν κάνουμε παράγοντες δε θέλουμε το ; Βγαίνει κάπως ή παραβλέπω ( λόγω κούρασης ) πράγματα ;

Συμφωνώ γιατί και εγώ που την έλυνα χθες, είχα "θεμα" με το g(2)

#8

Ratio έγραψε: Η είναι συνεχής , επομένως

$\lim_{x\to -x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c1) =f(-x_{0})\\\\\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c2) =f(x_{0})$

Σωστά αλλά και περιττά.

Μπορούμε να πάμε απευθείας στο

Ratio έγραψε: $f(-x_{0})=-f(x_{0})\Leftrightarrow ...$

που είναι βέβαια η υπόθεσή μας της περιττότητας.

BAGGP93 · #9

erxmer έγραψε:
3) Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η εξίσωση

$\displaystyle{x\cdot\ln(x^4+4)=\ln(x^2+4).}$

Μια ιδέα: Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{x\,\ln\,(x^4+4)=\ln\,(x^2+4)}$ . Αν $\displaystyle{x=0}$ ,

τότε θα είχαμε $\displaystyle{0=\ln\,4}$ , άτοπο, άρα $\displaystyle{x\neq 0}$ . Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned}x\,\ln\,(x^4+4)=\ln\,(x^2+4)&\implies \dfrac{x^2}{x}\,\ln\,(x^4+4)=\ln\,(x^2+4)\\&\implies x^2\,\ln\,(x^4+4)=x\,\ln\,(x^2+4)\\&\implies f(x^2)=f(x)\\&\implies x^2=x\\&\implies x=1 \end{aligned}}$

Επαληθεύουμε για $\displaystyle{x=1}$ ( $\displaystyle{\,\,\,\,\ln\,5=\ln\,5}$ )

Μοναδική λύση είναι η $\displaystyle{x=1}$ .

Tolaso J Kos · #10

Δίδαγμα: Δε λύνουμε ποτέ άσκηση ούτε τη πληκτρολογούμε φυσικά αν είμαστε κουρασμένοι και δε βλέπουμε μπροστά μας.

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:κατά συνέπεια η είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς ορίζεται η αντίστροφη.
Δεν τελειώνει εκεί. Η άσκηση ζητά να αποδείξεις ότι είναι αντιστρέψιμη σε ολόκληρο το $\mathbb R$ . Δεν είναι δύσκολο.

κ. Μιχάλη ευχαριστώ για τις παραπάνω υποδείδεις αλλά νομίζω στο σημείο αυτό η λύση είναι σωστή. Εφόσον $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε η

είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Σαν γνήσια αύξουσα είναι 1-1

και κατά συνέπεια ορίζει αντίστροφη σε όλο το $\mathbb{R}$ .

Ίσως παρέλειψα βέβαια τετριμμένες λεπτομέρειες.

#11

Tolaso J Kos έγραψε:Δίδαγμα: Δε λύνουμε ποτέ άσκηση ούτε τη πληκτρολογούμε φυσικά αν είμαστε κουρασμένοι και δε βλέπουμε μπροστά μας.

Σωστό. Την έχω πάθει χίλιες φορές, και μετά δαγκώνομαι.

Tolaso J Kos έγραψε:Εφόσον $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε η είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Σαν γνήσια αύξουσα είναι και κατά συνέπεια ορίζει αντίστροφη σε όλο το $\mathbb{R}$ .

Δεν είναι σωστό αυτό. Π.χ. η $\Arctan x$ είναι γνήσια αύξουσα με f'(x) > 0

αλλά το σύνολο τιμών της είναι το γνήσιο υποσύνολο $( -\pi / 2, \, \pi /2)$ του $\mathbb R$ .

Το ίδιο βέβαια συμβαίνει με κάθε φραγμένη γνήσια αύξουσα.

Ratio · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ratio έγραψε: Η είναι συνεχής , επομένως

$\lim_{x\to -x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c1) =f(-x_{0})\\\\\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-x_{0}ln((x_{0})^2+c2) =f(x_{0})$
Σωστά αλλά και περιττά.

Μπορούμε να πάμε απευθείας στο
Ratio έγραψε: $f(-x_{0})=-f(x_{0})\Leftrightarrow ...$
που είναι βέβαια η υπόθεσή μας της περιττότητας.

έχετε δίκιο αλλά προτίμησα πιο διεξοδική προσέγγιση αν και ολίγον "φλύαρη" για το διδακτικό τμήμα της άσκησης

#13

Ratio έγραψε: έχετε δίκιο αλλά προτίμησα πιο διεξοδική προσέγγιση αν και ολίγον "φλύαρη" για το διδακτικό τμήμα της άσκησης

Ίσως δεν έγινα κατανοητός: Το αν μία απόδειξη είναι "ολίγον φλύαρη" δεν έναι μεπτό. Είναι θέμα ύφους. Όμως το παραπάνω βήμα είναι περιττό, με την έννοια ότι έκανες έναν "δύσκολο τρόπο" (χρησιμοποιώντας όρια) για να καταλήξεις σε συμπέρασμα (το f(-x_o) = -f(x_o)

) το οποίο είναι υπόθεση της άσκησης! Δηλαδή έκανες κάτι άσκοπο. Πολύ φασαρία για να "αποδείξεις" το δοθέν.

Επί της ουσίας τώρα.

Άσκηση για σένα: Πού στον συλλογισμό για να αποδείξεις την υπόθεση έκανες χρήση του αποδεικτέου; Με άλλα λόγια, που έκανες το λογικό σφάλμα του κυκλικού συλλογισμού;

Ελπίζω να σκεφτείς πριν απαντήσεις για να μην έχουμε επανάληψη των αμετροπιών στα ποστ σου εδώ.

Tolaso J Kos · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Εφόσον $f'(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε η είναι γνήσια αύξουσα στο $\mathbb{R}$ . Σαν γνήσια αύξουσα είναι και κατά συνέπεια ορίζει αντίστροφη σε όλο το $\mathbb{R}$ .
Δεν είναι σωστό αυτό.

Έχετε δίκιο θέλουμε και το σύνολο τιμών της

. Πράγματι αυτό είναι το $\mathbb{R}$ αφού τετριμέννα τα όρια είναι $\lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ .

Κάποιες φορές το μυαλό θολώνει.

Ratio · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ratio έγραψε: έχετε δίκιο αλλά προτίμησα πιο διεξοδική προσέγγιση αν και ολίγον "φλύαρη" για το διδακτικό τμήμα της άσκησης
Ίσως δεν έγινα κατανοητός: Το αν μία απόδειξη είναι "ολίγον φλύαρη" δεν έναι μεπτό. Είναι θέμα ύφους. Όμως το παραπάνω βήμα είναι περιττό, με την έννοια ότι έκανες έναν "δύσκολο τρόπο" (χρησιμοποιώντας όρια) για να καταλήξεις σε συμπέρασμα (το ) το οποίο είναι υπόθεση της άσκησης! Δηλαδή έκανες κάτι άσκοπο. Πολύ φασαρία για να "αποδείξεις" το δοθέν.

Επί της ουσίας τώρα.

Άσκηση για σένα: Πού στον συλλογισμό για να αποδείξεις την υπόθεση έκανες χρήση του αποδεικτέου; Με άλλα λόγια, που έκανες το λογικό σφάλμα του κυκλικού συλλογισμού;

Ελπίζω να σκεφτείς πριν απαντήσεις για να μην έχουμε επανάληψη των αμετροπιών στα ποστ σου εδώ.

Για την αμετροέπειά μου στο συγκεκριμενο ποστ, έχω τοποθετηθεί. Τον χρόνο t=0 τον θέτει η άκηση εξ' αρχής στην εκφώνηση και στην τελική τί εκφράζουν τα $y_{1},y_{2}$ και ως προς τί μεταβάλλονται θα περιμένω τον θεματοδότη.
Εξάλλου , δεν βρίσκω το λόγο να απολογούμαι εγώ που έκανα προσπάθεια να την προσεγγίσω σύμφωνα με τα δεδομένα και τις ευχέρειες που μου έδινε η άσκηση, ούτε όσοι διόρθωσαν όπως εσείς ή συμμετείχαν ενεργά - αυτό το θεωρώ απόλυτα δημιουργικό παρόλες τις διαφωνίες - από τη στιγμή που ο θεματοδότης δεν μας έχει δώσει εξηγήσεις και μας έχει αφήσει να 'πελαγοδρομούμε' αποσαφηνίζοντας την άσκηση μόνοι μας.
Αναγνωρίζω ότι υπάρχει κυκλικό σφάλμα , και θα σας πω, πώς το σκέφτηκα.
Χρησιμοποίησα τη συνέχεια , χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο συμμετρικό διάστημα $[-x_{0},x_{0}]$ έτσι ώστε να δώσω γενική λύση πως c1=c2

και αυτό γιατί ήθελα να αποφύγω τις αλλαγές μεταβλητής στο όριο, στη χρήση του ότι η f είναι περιττή
Ήθελα να φαίνεται πιο ξεκάθαρα

#16

Το παρακάτω

Ratio έγραψε: Χρησιμοποίησα τη συνέχεια , χρησιμοποιώντας ένα τυχαίο συμμετρικό διάστημα $[-x_{0},x_{0}]$ έτσι ώστε να δώσω γενική λύση πως
και αυτό γιατί ήθελα να αποφύγω τις αλλαγές μεταβλητής στο όριο, στη χρήση του ότι η f είναι περιττή
Ήθελα να φαίνεται πιο ξεκάθαρα

δεν απαντά στο ερώτημα που έθεσα:

Mihalis_Lambrou έγραψε: Άσκηση για σένα: Πού στον συλλογισμό για να αποδείξεις την υπόθεση έκανες χρήση του αποδεικτέου; Με άλλα λόγια, που έκανες το λογικό σφάλμα του κυκλικού συλλογισμού;

Για να μην παραμένει το φαινόμενο του beating about the bush που λένε οι εγγλέζοι, θα ήταν πιο χρήσιμο και πιο σύντομο να βλέπαμε τον συλλογισμό χωρίς τα πολλά λόγια.

Ας γράψω (για όφελος των μαθητών) την σωστή απάντηση.

Η λύση του Ratio κατέληξε στο f(-x_o) = -f(x_o)

από την ισότητά τους με τα όρια
$\displaystyle{\lim_{x\to -x_{0}}f(x)}$ και $\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}}(-f(x))}$ , αντίστοιχα.
Το πρώτο γράφεται και $\displaystyle{\lim_{x\to x_{0}}f(-x)}$ .
Η ισότητά του με το $\displaystyle{ \lim_{x\to x_{0}}(-f(x))}$ οφείλεται στο ότι "το μέσα" του ενός ισούται με το μέσα του άλλου, δηλαδή $\displaystyle{f(-x)= -f(x)}$ . Γιατί; Απλούστατα, η ισότητα αυτή μας δίνεται ως υπόθεση.

Κοντολογίς, δεν χρειάζεται να πάμε μέσω Θηβών και μάλιστα με χρήση της υπόθεσης, για να "αποδείξουμε" την ίδια την υπόθεση.

Ratio · #17

Tolaso J Kos έγραψε:
Ratio έγραψε:Σύμφωνα με το διάστημα $x \in (2,\frac{5}{2})$
μάλλον θα εννοεί την
Όχι δεν υπάρχει θέμα εδώ τελικά. Είναι ξεκαθαρό ότι θα πάρουμε τη . Όμως όταν κάνουμε παράγοντες δε θέλουμε το ; Βγαίνει κάπως ή παραβλέπω ( λόγω κούρασης ) πράγματα ;

Για το

$f(x)=xln(x^2+4)\Leftrightarrow f'(x)=ln(x^2+4)+\frac{2x^2}{x^2+4}\Leftrightarrow f'(x)={\color{Red} g'(x)}+2\frac{x^2}{x^2+4}\Leftrightarrow \\\\f'(x)=g'(x)+2\frac{x^2+4}{x^2+4}-8\frac{1}{x^2+4}\\\\\Leftrightarrow \int_{0}^{2}f'(x)dx=\int_{0}^{2}g'(x)dx+2\int_{0}^{2}dx-8\int_{0}^{2}\frac{1}{x^2+4}\\\\\Leftrightarrow \\\\ \left [ f(2)-f(0) \right ]=[g(2)-g(0)]+2(2-0)-8\frac{\pi}{8}\Leftrightarrow *(g(0)=0)\\ \Leftrightarrow f(2)=g(2)+4-\pi\Leftrightarrow g(2)=2ln8+\pi-4$

Βέβαια παρατηρώντας ότι $g'(x)=\frac{f(x)}{x}$
έχουμε από την αρχική και αυτό: $e^{g'(x)}g''(x)=2x$
αλλά αυτή τη στιγμή δεν βλέπω πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του g(2)

#18

Ratio έγραψε: έχουμε από την αρχική και αυτό: $e^{g'(x)}g''(x)=2x$
αλλά αυτή τη στιγμή δεν βλέπω πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του

Δεν βοηθά αυτό αλλά γυρίζει σε κύκλο τα γνωστά. Για παράδειγμα έπεται $\left( e^{g'(x)} \right )'= (x^2)'$ και άρα $e^{g'(x)} = x^2+c$ . Λογαριθμίζοντας και με χρήση των αρχικών τιμών έπεται $g'(x) = \ln (x^2+4)$ (αφήνω τις λεπτομέρειες ως απλές). Δηλαδή γυρίσαμε εκεί από όπου ξεκινήσαμε.

Όπως και να είναι, το αρχικό ερώτημα δεν έχει απαντηθεί. Ακόμα καλύτερα μπορούμε να βρούμε ακριβώς ποια είναι η g(x)

, όχι μόνο το g(2)

.

Ως υπόδειξη δίνω την τελική απάντηση (το πρώτο βήμα στην ολοκλήρωση είναι "κατά παράγοντες"). Βγαίνει τελικά

$\displaystyle{\boxed {g(x) = x\ln (x^2+4)-2x+4\arctan \frac {x}{2} }}$

Ratio · #19

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ratio έγραψε: έχουμε από την αρχική και αυτό: $e^{g'(x)}g''(x)=2x$
αλλά αυτή τη στιγμή δεν βλέπω πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του
Δεν βοηθά αυτό αλλά γυρίζει σε κύκλο τα γνωστά. Για παράδειγμα έπεται $\left( e^{g'(x)} \right )'= (x^2)'$ και άρα $e^{g'(x)} = x^2+c$ . Λογαριθμίζοντας και με χρήση των αρχικών τιμών έπεται $g'(x) = \ln (x^2+4)$ (αφήνω τις λεπτομέρειες ως απλές). Δηλαδή γυρίσαμε εκεί από όπου ξεκινήσαμε.

Όπως και να είναι, το αρχικό ερώτημα δεν έχει απαντηθεί. Ακόμα καλύτερα μπορούμε να βρούμε ακριβώς ποια είναι η , όχι μόνο το .

Ως υπόδειξη δίνω την τελική απάντηση (το πρώτο βήμα στην ολοκλήρωση είναι "κατά παράγοντες"). Βγαίνει τελικά

$\displaystyle{\boxed {g(x) = x\ln (x^2+4)-2x+4\arctan \frac {x}{2} }}$

επειδή διαπίστωσα κι εγώ αυτό το κυκλικό , γι' αυτό έκανα την επιλογή μέσω της f'(x

. Εννοείται ότι μπορεί να υπολογισθεί και η g(x)

. Επειδή δεν ζητήθηκε δεν την έγραψα. Επίσης δεν έχω υπολογίσει αναλυτικά το τελευταίο ολοκλήρωμα καθώς δεν ξέρω κατά πόσο είναι στα όρια της σχολικής ύλης

#20

Ratio έγραψε: Επίσης δεν έχω υπολογίσει αναλυτικά το τελευταίο ολοκλήρωμα καθώς δεν ξέρω κατά πόσο είναι στα όρια της σχολικής ύλης

Η άσκηση μπορεί να λυθεί εντός σχολικής ύλης χωρίς να υπολογιστεί η

. Δίνω τα κύρια βήματα.

Θέλουμε το $\int _0^2 g(x)dx$ . Με κατά παράγοντες είναι

$\int _0^2 g(x)dx = \left [ xg(x)\right ]_0^2 -\int _0^2 xg'(x)dx = 2g(2)- \int _0^2 x \ln (x^2+4)dx$

Με αλλαγή μεταβλητής και κατά παράγοντες το τελευταίο ολοκλήρωμα (δίνω γενικότερα το αόριστο) είναι (άσκηση)

$\int x \ln (x^2+4)dx = \frac {1}{2}(x^2+4)\ln (x^2+4)- \frac {1}{2}(x^2+4)+c$

Oops

Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Re: Oops

Μέλη σε σύνδεση