Υπαρξιακή

erxmer · #1

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \to R$ και

μια αρχική της

ώστε $F(1-2x)+F(x^2+2)=x^4+5x^2+2x, x \in R$ .

1) Να βρεθούν οι τιμές f(1),f(3)

2) H

τέμνει τον άξονα xx'

σε τουλάχιστον ένα σημείο $x_0 \in (1,3)$

3) Yπάρχουν $x_1,x_2 \in (1,3), x_1<x_2$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{3}{f'(x_2)}=2}$

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: R \to R$ και μια αρχική της ώστε $F(1-2x)+F(x^2+2)=x^4+5x^2+2x, x \in R$ .

1) Να βρεθούν οι τιμές

2) H τέμνει τον άξονα σε τουλάχιστον ένα σημείο $x_0 \in (1,3)$

3) Yπάρχουν $x_1,x_2 \in (1,3), x_1<x_2$ ώστε $\displaystyle{\frac{1}{f'(x_1)}+\frac{3}{f'(x_2)}=2}$

Εφόσον η ${\rm F}$ είναι αρχική της συνεχούς συνάρτησης

αυτό σημαίνει πως είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με ${\rm F}'(x)=f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Παραγωγίζοντας την αρχική σχέση έχουμε:
$\displaystyle{\begin{matrix} -2{\rm F}' \left ( 1-2x \right ) + 2x{\rm F}' \left ( x^2+2 \right ) = 4x^3 +10 x +2 & \Rightarrow \\\\ -2 f \left ( 1-2x \right ) + 2x f \left ( x^2+2 \right )= 4x^3 +10 x +2 & (1) \end{matrix}}$ Θέτουμε x=0

στη σχέση

συνεπώς έχουμε -2f(1)=2

ή

. Επίσης στη σχέση (1)

θέτουμε ξανά x=-1

και τελικά παίρνουμε f(3) = 3

.

(β) Η

είναι συνεχής στο διάστημα [1, 3]

και ισχύει ότι f(1) f(3)<0

. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (1, 3)$ τέτοιο ώστε f(x_0)=0

. Δηλαδή η $\mathcal{C}_f$ τέμνει τον άξονα x'x

σε τουλάχιστον ένα σημείο.

(γ) Η

είναι συνεχής στα διαστήματα [1, x_0]

και

και παραγωγίσιμη στα (1, x_0)

και

. Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε πως υπάρχει ένα $\xi_1 \in (1, x_0)$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'\left ( \xi_1 \right ) = \frac{f(x_0) - f(1)}{x_0-1} = \frac{1}{x_0-1} }$ και όμοια υπάρχει $\xi_2 \in (x_0, 3)$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{f'\left ( \xi_2 \right ) = \frac{f(3) - f(x_0)}{3-x_0} = \frac{3}{3-x_0}}$ Τότε
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{f'\left ( \xi_1 \right )} + \frac{3}{f'\left ( \xi_2 \right )} &= x_0 -1 + 3-x_0 \\ &= 2 \end{aligned}}$ δηλ. το ζητούμενο.

Υπαρξιακή

Υπαρξιακή

Re: Υπαρξιακή

Μέλη σε σύνδεση