Με πρώτο p...

M.S.Vovos · #1

Να αποδείξετε ότι αν

είναι ένας πρώτος αριθμός και ο $p^{m}$ διαιρεί το παραγοντικό

ενός φυσικού αριθμού

τότε $\displaystyle{m<\frac{n}{p-1}}$ .

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Νομίζω ότι για αυτόν τον φάκελο είναι σχεδόν τετριμμένο.
Ολοι γνωρίζουν (στο φάκελο) ποια είναι η μεγαλύτερη δύναμη πρώτου
που διαιρεί το

harrisp · #3

M.S.Vovos έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν είναι ένας πρώτος αριθμός και ο $p^{m}$ διαιρεί το παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού τότε $\displaystyle{m<\frac{n}{p-1}}$ .

Φιλικά.

Για να μην μείνει αναπάντητη:

Ο γνωστός τύπος του Legendre δίνει ότι: $e_p(n)=\dfrac {n-S_p(n)}{p-1}<\dfrac{n}{p-1}}$

Αφού $m\leq e_p(n)$ το ζητούμενο είναι άμεσο.

Επεξήγηση των συμβόλων:

e_p(n)

: Η μέγιστη δύναμη του

που διαρεί το

: Το άθροισμα των ψηφίων του

αν γραφεί με βάση το

Edit: Επεξήγηση συμβόλων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν είναι ένας πρώτος αριθμός και ο $p^{m}$ διαιρεί το παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού τότε $\displaystyle{m<\frac{n}{p-1}}$ .

Φιλικά.
Για να μην μείνει αναπάντητη:

Ο γνωστός τύπος του Legendre δίνει ότι: $e_p(n)=\dfrac {n-S_p(n)}{p-1}<\dfrac{n}{p-1}}$

Αφού $m\leq e_p(n)$ το ζητούμενο είναι άμεσο.

Χάρη μπορείς να εξηγήσεις τι είναι τα e_p(n),S_p(n)

, η δώσε παραπομπή.
Δεν σου κάνω πλάκα.Το πιο πιθανόν είναι να τα ξέρω με άλλους συμβολισμούς.

thrassos · #5

Καλησπέρα κύριε Σταύρο,
Το $e_{p}(n)$ είναι η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το

και το $S_{p}(n)$ είναι το άθροισμα των ψηφίων του

αν το γράψουμε με βάση το

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Να ευχαριστήσω τον Χάρη και τον Θρασύβουλο που κάτι έμαθα.

Τον τύπο του Legendre δεν τον ήξερα αν και μικρός είχα διαβάσει αρκετά βιβλία Θεωρίας Αριθμών.

Για το θέμα εδώ από μαθητής γνωρίζω ότι η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί τον

είναι η

$\left [ \frac{n}{p} \right ]+\left [ \frac{n}{p^{2}} \right ]+.....$
όπου $\left [ a \right ]$ είναι το ακέραιο μέρος του

.

Η απόδειξη πάει ως εξής.
Τα πολλαπλάσια του

που είναι $\leq n$ είναι $\left [ \frac{n}{p} \right ]$

Αλλά τα πολλαπλάσια του $p^{2}$ δεν τα έχουμε μετρήσει όποτε έχουμε και το $\left [ \frac{n}{p^{2}} \right ]$
και τα λοιπά.

Ετσι η μέγιστη δύναμη είναι μικρότερη η ίση από

$\frac{n}{p}+\frac{n}{p^{2}}+....=\frac{n}{p}(1+\frac{1}{p}+....)=\frac{n}{p}\frac{1}{1-\frac{1}{p}}=\frac{n}{p-1}$

#7

Το μετέφερα στους Juniors μιας και είναι όντως πολύ απλό για Seniors.

Νομίζω ο τύπος του Legendre όπως δόθηκε από τους Χάρη/Θράσο θα ήταν καλό να αποδειχθεί. Μόνο που είναι παρόμοιο και κάποιος πιο σύντομο να λυθεί απευθείας η άσκηση με τον τρόπο που την έλυσε ο Σταύρος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Για να κλείνει βάζω την απόδειξη του τύπου του Legendre.

Εστω $n=a_{k}p^{k}+a_{k-1}p^{k-1}+....a_{0},0\leq a_{i}\leq p-1,a_{k }\neq 0$

Ευκολα βλέπουμε ότι $\left [ \frac{n}{p^{i}} \right ]=a_{k}p^{k-i}+...a_{i}$ (1)
για i=1,2,...k

και $\left [ \frac{n}{p^{k+1}} \right ]=0$

Αθροίζοντας τις (1) και χρησιμοποιώντας τον τύπο που έγραψα παραπάνω για την μέγιστη δύναμη
του

που διαιρεί το

παίρνουμε ότι αυτή είναι

$a_{k}\frac{p^{k}-1}{p-1}+a_{k-1}\frac{p^{k-1}-1}{p-1}+...+a_{1}\frac{p-1}{p-1}$

που δίνει τον τύπο που θέλουμε

Με πρώτο p...

Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Re: Με πρώτο p...

Μέλη σε σύνδεση