Ελάχιστο εμβαδόν

#1

: min-area.png (9.25 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

έχει τις κορυφές του D, E, Z

πάνω στις πλευρές AB, BC, CA

ορθογωνίου τριγώνου

$ABC(\widehat A=90^0),$ έτσι ώστε $\displaystyle{DE \bot AB}.$ Να βρείτε συναρτήσει του

τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που έχει

το ελάχιστο εμβαδόν, καθώς και το εμβαδόν αυτό.

#2

george visvikis έγραψε:min-area.png
Ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς έχει τις κορυφές του πάνω στις πλευρές ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^0),$ έτσι ώστε $\displaystyle{DE \bot AB}.$ Να βρείτε συναρτήσει του τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που έχει το ελάχιστο εμβαδόν, καθώς και το εμβαδόν αυτό.

Έστω $\left( AB \right)=x,\left( AC \right)=y,\left( BC \right)=t$ και ας είναι η ορθή προβολή του στην . Τότε $\left( {EF} \right) = \left( {AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (ύψος ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς ).

Θα είναι $\left( {ABC} \right) = \left( {AEB} \right) + \left( {AEC} \right) = \dfrac{1}{2}y\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}xa \Rightarrow$ $\boxed{\left( {ABC} \right) = \dfrac{1}{4}a\left( {2x + y\sqrt 3 } \right)}:\left( 1 \right)$ .
[attachment=0]ελάχιστο εμβαδόν.png[/attachment]
Προφανώς η μεγιστοποίηση του εμβαδού του $\vartriangle ABC$ επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση $f\left( x,y \right)=2x+y\sqrt{3}:\left( 2 \right)$

Με $ED\parallel AC \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{ED}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{x} = \dfrac{a}{y} \Rightarrow$ $y = \dfrac{{ax}}{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)}$

$f\left( {x,y} \right) = g\left( x \right) = k = 2x + \dfrac{{ax}}{{x - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}\sqrt 3$ $\Leftrightarrow \ldots \boxed{4{x^2} - 2kx + ak\sqrt 3 = 0}:\left( 3 \right)$ .

Για να έχει η $\left( 3 \right)$ ρίζες ως προς πρέπει $\Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow 4{k^2} - 16ak\sqrt 3 \geqslant 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{4k > 0} \ldots \boxed{k \geqslant 4a\sqrt 3 }$ και συνεπώς η ελάχιστη τιμή του

θα είναι $4a\sqrt{3}$ όταν $\Delta =0$ για την τιμή της διπλής ρίζας της εξίσωσης $\left( 3 \right)$ , $x=\dfrac{2\cdot 4a\sqrt{3}}{8}=a\sqrt{3}$ οπότε $y=\dfrac{a\cdot a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=2a$

(ή αλλιώς με το μέσο της $AB\Rightarrow AC=2AF=2a$ και από Πυθαγόρειο θεώρημα θα είναι $t=\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}$ ,

το δε ελάχιστο εμβαδόν είναι ${\left( {ABC} \right)_{\min }} = \dfrac{1}{4}a{k_{\min }} = \dfrac{1}{4}a \cdot 4a\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{{{\left( {ABC} \right)}_{\min }} = {a^2}\sqrt 3 }$ και όλα τα ζητούμενα έχουν υπολογιστεί.

Στάθης

S.E.Louridas · #3

Γεια χαρά στους Άριστους Γεωμέτρες αλλά και φίλους Γιώργο και Στάθη με όλες τις ευχές μου λόγω των ημερών.

Μία διαπραγμάτευση:
Ας θεωρήσουμε ότι κατά τη κίνηση της

, έχουμε $AC\leqslant AB.$ Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

και θεωρήσουμε $KM \bot AB,$ τότε επί της ουσίας είναι καθαρό ότι ζητάμε το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου LMB,

που προφανώς είναι μηδέν. Αλλά τότε έχουμε τη ταύτιση των σημείων $B,\;M$ , οπότε AD=DB

και έτσι στη περίπτωση αυτή άμεσα διαπιστώνουμε ότι $AB=a\sqrt{3}, AC=2a$ και βέβαια το ζητούμενο εμβαδόν είναι ${a^2}\sqrt 3 .$

(*) Η μέθοδος αυτή επίλυσης λειτουργεί ακριβώς το ίδιο και στο ευρύτερο πρόβλημα:
Δίδεται γωνία και σημείο εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία διερχόμενη από το που τέμνει τις στα σημεία , αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας που το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο.

S.E.Louridas · #4

S.E.Louridas έγραψε:Γεια χαρά στους Άριστους Γεωμέτρες αλλά και φίλους Γιώργο και Στάθη με όλες τις ευχές μου λόγω των ημερών.
Μία διαπραγμάτευση:
Ας θεωρήσουμε ότι κατά τη κίνηση της , έχουμε $AC\leqslant AB.$ Αν το συμμετρικό του ως προς το και θεωρήσουμε $KM \bot AB,$ τότε επί της ουσίας είναι καθαρό ότι ζητάμε το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου που προφανώς είναι μηδέν. Αλλά τότε έχουμε τη ταύτιση των σημείων $B,\;M$ , οπότε και έτσι στη περίπτωση αυτή άμεσα διαπιστώνουμε ότι $AB=a\sqrt{3}, AC=2a$ και βέβαια το ζητούμενο εμβαδόν είναι ${a^2}\sqrt 3 .$

(*) Η μέθοδος αυτή επίλυσης λειτουργεί ακριβώς το ίδιο και στο ευρύτερο πρόβλημα:
Δίδεται γωνία και σημείο εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία διερχόμενη από το που τέμνει τις στα σημεία , αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας που το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο.

Καλημέρα.
Απλά επανέρχομαι για να πω ότι το ίδιο αλλά από την άλλη μεριά θα εργαζόμασταν αν είχαμε $AB\leq AC$ . Αυτό επειδή τελικά η θέση για το ελάχιστο εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ABC

καθορίζεται από το παραλληλόγραμμο (ορθογώνιο) AMKM'

.

(*) Παραθέτω το σχήμα (χωρίς γράμματα) του ευρύτερου προβλήματος στο οποίο αναφέρθηκα, για να ασχοληθούν οι ενδιαφερόμενοι:
Δίδεται γωνία και σημείο εντός αυτής. Θεωρούμε τυχούσα ευθεία διερχόμενη από το που τέμνει τις στα σημεία , αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση της ευθείας που το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο.

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση