Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Συντονιστές: Demetres, socrates, silouan
Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Παίρνουμε σημεία πάνω σε έναν κύκλο, τα οποία ενώνουμε ανα με ένα ευθύγραμμο τμήμα. (Έχουμε συνολικά τέτοια τμήματα). Αν δίνεται ότι τα τμήματα αυτά ανα τρία δεν συντρέχουν στο εσωτερικό του κύκλου, να βρείτε το πλήθος των περιοχών στις οποίες χωρίζεται ο κύκλος από τα τμήματα αυτά. Για μαθητές.
Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Είχα γράψει ως απάντηση αλλα για 6 σημεία είναι λάθος!!!
Δείτε το !
Το πρόβλημα αποκτά τεράστιο ενδιαφέρον!
Δείτε το !
Το πρόβλημα αποκτά τεράστιο ενδιαφέρον!
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Εχω βρει μια απάντηση που περιέχει τον τύπο του Euler αλλα δεν ειναι για τον φάκελο και ψάχνω και αλλη!
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Δεν είχα το παραπάνω υπόψη μου... Λύνεται με πολύ πιο στοιχειώδη μέσα...
Bye :')
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Από τα αγαπημένα μου προβλήματα ακριβώς για αυτόν τον λόγο. Η ακολουθία ξεκινάει ως εξής: .ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Είχα γράψει ως απάντηση αλλα για 6 σημεία είναι λάθος!!!
Δείτε το !
Το πρόβλημα αποκτά τεράστιο ενδιαφέρον!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Ο κύκλος ακόμα και χωρίς ευθύγραμμα τμήματα αποτελεί από μόνος του περιοχή.
Έστω ότι υπάρχουν ήδη κάποια ευθύγραμμα τμήματα. Για κάθε επιπλέον ευθύγραμμο τμήμα που δημιουργείται μεταξύ σημείων του κύκλου έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) Αν το νέο τμήμα δεν τέμνεται από κανένα άλλο τμήμα τότε δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή (χωρίζει μια προϋπάρχουσα περιοχή σε δύο περιοχές).
β) Αν το νέο τμήμα τέμνεται από άλλα τμήματα, τότε αυτό χωρίζεται σε μικρότερα τμήματα, δημιουργώντας επιπλέον περιοχές.
Συγχωνεύοντας τις δύο περιπτώσεις σε μία, μπορούμε να πούμε ότι κάθε νέο τμήμα που τέμνεται σε (με ) σημεία από άλλα τμήματα δημιουργεί νέες περιοχές.
Δηλαδή έχουμε:
Πλήθος περιοχών πλήθος ευθυγράμμων τμημάτων πλήθος σημείων τομής
Βέβαια ο παραπάνω τύπος ισχύει αν . Διαφορετικά:
Αν ή τότε έχουμε περιοχή.
Αν ή τότε έχουμε περιοχές.
Υ.Γ.
Σε αυτό το σημείο αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω αρκούν ή χρειάζεται κάποια "κανονική απόδειξη" π.χ. επαγωγή.
Έστω ότι υπάρχουν ήδη κάποια ευθύγραμμα τμήματα. Για κάθε επιπλέον ευθύγραμμο τμήμα που δημιουργείται μεταξύ σημείων του κύκλου έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) Αν το νέο τμήμα δεν τέμνεται από κανένα άλλο τμήμα τότε δημιουργεί μια επιπλέον περιοχή (χωρίζει μια προϋπάρχουσα περιοχή σε δύο περιοχές).
β) Αν το νέο τμήμα τέμνεται από άλλα τμήματα, τότε αυτό χωρίζεται σε μικρότερα τμήματα, δημιουργώντας επιπλέον περιοχές.
Συγχωνεύοντας τις δύο περιπτώσεις σε μία, μπορούμε να πούμε ότι κάθε νέο τμήμα που τέμνεται σε (με ) σημεία από άλλα τμήματα δημιουργεί νέες περιοχές.
Δηλαδή έχουμε:
Πλήθος περιοχών πλήθος ευθυγράμμων τμημάτων πλήθος σημείων τομής
Βέβαια ο παραπάνω τύπος ισχύει αν . Διαφορετικά:
Αν ή τότε έχουμε περιοχή.
Αν ή τότε έχουμε περιοχές.
Υ.Γ.
Σε αυτό το σημείο αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω αρκούν ή χρειάζεται κάποια "κανονική απόδειξη" π.χ. επαγωγή.
Houston, we have a problem!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Κάπου είδα ότι θα μπορούσαμε να ορίσουμε ότι αν . Αν ισχύει αυτό, τότε ο αρχικός τύπος θα ισχύει για όλα τα .Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Βέβαια ο παραπάνω τύπος ισχύει αν .
Σε αυτό δεν απάντησε κανείς...Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Υ.Γ.
Σε αυτό το σημείο αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω αρκούν ή χρειάζεται κάποια "κανονική απόδειξη" π.χ. επαγωγή.
Houston, we have a problem!
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Για τον ίδιο λόγο που αναφέρει ο Δημήτρης είναι και για μένα ένα από τα αγαπημένα προβλήματα. Φαίνεται να ακολουθείται ένα μοτίβο το οποίο κάποια στιγμή (με 6 σημεία) χαλάει...
Είχε συζητηθεί εδώ και ήταν θέμα στον Αρχιμήδη το 1999 στο οποίο είχα συμμετάσχει ως μαθητής (τα θέματα εδώ).
Αλέξανδρος
Είχε συζητηθεί εδώ και ήταν θέμα στον Αρχιμήδη το 1999 στο οποίο είχα συμμετάσχει ως μαθητής (τα θέματα εδώ).
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Κάπου είδα ότι θα μπορούσαμε να ορίσουμε ότι αν . Ισχύει πράγματι;Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Βέβαια ο παραπάνω τύπος ισχύει αν .
Αν ισχύει αυτό, τότε ο αρχικός τύπος θα ισχύει για όλα τα .
Σε αυτό δεν απάντησε κανείς...Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Υ.Γ.
Σε αυτό το σημείο αναρωτιέμαι αν τα παραπάνω αρκούν ή χρειάζεται κάποια "κανονική απόδειξη" π.χ. επαγωγή.
Ας βάλουμε και ένα πρόσθετο ερώτημα:
β) Ποιο είναι το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία χωρίζονται αυτές οι χορδές μέσω των σημείων τομής τους.
Houston, we have a problem!
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Από τον τύπο V-E+F=2 όπου στο V προσμετρούνται τα σημεία τομής των χορδών () και τα n σημεία, στο F προσμετράται η περιοχή εκτός του κύκλου και στο e τα καμπυλόγραμμα τμήματα μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων(n στο πλήθος),παίρνουμε +n-(πλήθοςζητούμενωντμημάτων +n)++=0.Λύνοντας ως προς το πλήθος των ζητούμενων τμημάτων(έστω e') παίρνουμε e'=2+.Τέλος αφαιρούμε τα n μη τεμνόμενα τμήματα και παίρνουμε: e'=2+-n..
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Από Αναδρομική σε Αναδρομική!
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Ας βάλουμε και ένα πρόσθετο ερώτημα:
β) Ποιο είναι το πλήθος των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία χωρίζονται αυτές οι χορδές μέσω των σημείων τομής τους.
Νομίζω πως δεν υπάρχει λόγος να αφαιρέσουμε τα μη τεμνόμενα τμήματα, όπως λες στο τέλος της λύσης σου.min## έγραψε:Από τον τύπο V-E+F=2 όπου στο V προσμετρούνται τα σημεία τομής των χορδών () και τα n σημεία, στο F προσμετράται η περιοχή εκτός του κύκλου και στο e τα καμπυλόγραμμα τμήματα μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων(n στο πλήθος),παίρνουμε +n-(πλήθοςζητούμενωντμημάτων +n)++=0.Λύνοντας ως προς το πλήθος των ζητούμενων τμημάτων(έστω e') παίρνουμε e'=2+.Τέλος αφαιρούμε τα n μη τεμνόμενα τμήματα και παίρνουμε: e'=2+-n..
Εναλλακτικά:
Κάθε χορδή από μόνη της αποτελεί ένα ευθύγραμμο τμήμα. Κάθε σημείο τομής που βρίσκεται πάνω σε μια χορδή δημιουργεί ένα επιπλέον τμήμα σε αυτή τη χορδή (π.χ. αν μια χορδή περιέχει σημεία τομής τότε χωρίζεται σε τμήματα).
Όμως κάθε σημείο τομής βρίσκεται σε χορδές. Επομένως έχουμε:
Πλήθος τμημάτων πλήθος χορδών πλήθος σημείων τομής
Houston, we have a problem!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης