Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 1-περιοδικές συναρτήσεις.

Δείξτε ότι
$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)g(nx)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}g(x)dx$

Οταν

1) οι f,g

έχουν συνεχείς παραγώγους

2) οι f,g

είναι συνεχείς

3) $f\in L^{p}[0,1],g\in L^{q}[0,1]$ με $p,q> 0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Ισχύει και όταν $p=1,q=\infty$

Συμπλ.Διόρθωσα το 3
Συμπλ.Πρόσθεσα στο 3.

Tolaso J Kos · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 1-περιοδικές συναρτήσεις.

Δείξτε ότι
$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)g(nx)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}g(x)dx$

όταν οι είναι συνεχείς.

Γεια σου Σταύρο,

εφόσον οι συναρτήσεις μας είναι συνεχείς και

περιοδικές αυτό σημαίνει ότι είναι και ομοιόμορφα συνεχείς και φυσικά φραγμένες. Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x) g(nx) \, {\rm d}x &= \frac{1}{n} \int_{0}^{n} f \left ( \frac{x}{n} \right ) g(x) \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f \left ( \frac{x}{n} \right ) g(x) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{1} f \left ( \frac{x+k}{n} \right ) g(x) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{0}^{1} f \left ( \frac{k}{n} \right ) g(x) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f \left ( \frac{k}{n} \right )\int_{0}^{1} g(x) \, {\rm d}x \end{aligned}}$ επειδή για αρκετά μεγάλο

λόγω της ομοιόμορφης συνέχειας της

αλλά και του φραγμένου της

μπορούμε να βάλουμε το $\displaystyle{f\left(\frac{x+k}{n} \right)g(x)}$ σε μία $\epsilon$ περιοχή του $\displaystyle{f \left(\frac {k}{n}\right)g(x)}$ . Παίρνοντας όρια το ζητούμενο έπεται.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Επαναφορά.
Η απόδειξη του Τόλη είναι στο περίπου.
Η ιδέα είναι σωστή αλλά δεν νομίζω ότι είναι απόδειξη.
Σκιαγράφηση απόδειξης ναι.
Το πρώτο είναι εύκολο .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Το έχουμε δει και στο
viewtopic.php?f=59&t=54710
Επαναφορά για αυτά που μένουν.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Μια βασική παρατήρηση είναι ότι αν σε μία από τις δύο συναρτήσεις προσθέσω μια σταθερά τότε
η σχέση δεν αλλάζει.

Ετσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\int_{0}^{1}g(t)dt=0$

Θα πρέπει να αποδείξουμε ότι $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)g(nx)dx=0$

Το 1)Αν θέσουμε $G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt,0\leq x\leq 1$

τότε G(1)=0

και μπορούμε να την επεκτείνουμε περιοδικά σε όλο το $\mathbb{R}$

Θα είναι G'(x)=g(x)

και $G(k)=0,k\in \mathbb{Z}$

Εχουμε $\int_{0}^{1}f(x)g(nx)dx=\int_{0}^{1}f(x)(\dfrac{G(nx)}{n})'dx=f(x)(\dfrac{G(nx)}{n})|^{1}_{0}-\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f'(x)G(nx)dx$

Αρα $\int_{0}^{1}f(x)g(nx)dx=-\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f'(x)G(nx)dx$

Αλλά
$\left | -\frac{1}{n}\int_{0}^{1}f'(x)G(nx)dx \right |\leq \frac{1}{n}\int_{0}^{1}\left | f'(x) \right |\left | G(nx) \right |dx\leq \dfrac{C}{n}$

που μας δίνει το ζητούμενο.

Το 3 εμφανίσθηκε σε εργασία του Fejer το 1910.
Οι συνθήκες για τις συναρτήσεις μπαίνουν για να ορίζονται τα ολοκληρώματα.
Η απόδειξη του γίνεται χρησιμοποιώντας την πυκνότητα των συνεχών η απλών η συνεχώς παραγωγισίμων συναρτήσεων στις ολοκληρώσιμες.

Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Re: Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Re: Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Re: Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Re: Γενικευμένο Riemann-Lebesgue

Μέλη σε σύνδεση