Από Ρουμανία με Μανία!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y)

ακεραίων που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{6}+3x^{3}+1=y^{4}$

(Romanian Mathematical Olympiad)

thrassos · #2

Καλησπέρα Νικόλα,
Αρχικά, θέτοντας για ευκολία x^3=a

καταλήγουμε η δοθείσα να είναι ένα τριώνυμο ως προς

.
Τώρα, δεδομένου ότι ο

είναι ακέραιος θέλουμε η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι τέλειο τετράγωνο.
Εύκολα βλέπουμε ότι ο παραπάνω συλλογισμός δεν ισχύει για $y \in (-\infty,-1)\bigcup(1,+\infty)$ καθώς $(2y^2)^2<\Delta <(2y^2+1)^2$ .
Άρα καταλήγουμε στο γεγονός ότι
y=-1

ή

.
Και από εδώ οι λύσεις έπονται άμεσα.
Φιλικά,
Θράσος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

$x^{3}=\dfrac{-3+_{-}\sqrt{5+4(y)^{4}}}{2}$

Πρέπει $5+4(y)^{4}=r^{2},5=(r-(2y^{2}))(r+(2y^{2}))$

Προκύπτει y=1,-1

Λύσεις

Κατερινόπουλος Νικόλας · #4

thrassos έγραψε:Καλησπέρα Νικόλα,
Αρχικά, θέτοντας για ευκολία καταλήγουμε η δοθείσα να είναι ένα τριώνυμο ως προς .
Τώρα, δεδομένου ότι ο είναι ακέραιος θέλουμε η διακρίνουσα του τριωνύμου να είναι τέλειο τετράγωνο.
Εύκολα βλέπουμε ότι ο παραπάνω συλλογισμός δεν ισχύει για $y \in (-\infty,-1)\bigcup(1,+\infty)$ καθώς $(2y^2)^2<\Delta <(2y^2+1)^2$ .
Άρα καταλήγουμε στο γεγονός ότι
ή ή .
Και από εδώ οι λύσεις έπονται άμεσα.
Φιλικά,
Θράσος

Πολύ σωστά!!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: $x^{3}=\dfrac{-3+_{-}\sqrt{5+4(y)^{4}}}{2}$

Πρέπει $5+4(y)^{4}=r^{2},5=(r-(2y^{2}))(r+(2y^{2}))$

Προκύπτει

Λύσεις

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Μια άλλη, επίσης από Ρουμανία!

Να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y,z)

θετικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

$(x+y)^{2}+3x+y+1=z^{2}$

Από Ρουμανία με Μανία!

Από Ρουμανία με Μανία!

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Re: Από Ρουμανία με Μανία!

Μέλη σε σύνδεση