Ωραία!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη (x,y)

φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$

JimNt. · #2

Ουσιαστικά η παραγοντοποίηση είναι περιττή με την δοθείσα συνθήκη...

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

JimNt. έγραψε:Ουσιαστικά η παραγοντοποίηση είναι περιττή με την δοθείσα συνθήκη...

Συμφωνώ JimNt, αλλά στη σχολική ύλη της Γ' Γυμνασίου είναι συνηθισμένη η Παραγοντοποίηση! Γι' αυτό προτίμησα να το βάλω έτσι!

Panagiotis11 · #4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$

Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$
Συνεπώς x=-2

, $y\in \mathbb{N}$ ,άτοπο γιατί (χ,y) φυσικοί
Άρα $x+6y=2 \Leftrightarrow 6y=2-x \Leftrightarrow y=\frac{2-x}{6}$

Αν έχω κάποια λάθη διορθώστε με γιατί δεν είμαι πολύ σίγουρος ούτε και πολύ εξοικειωμένος με τα μαθηματικά.Πριν λίγες μέρες μπηκα στο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Panagiotis11 έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$
Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$
Συνεπώς , $y\in \mathbb{N}$ ,άτοπο γιατί (χ,y) φυσικοί
Άρα $x+6y=2 \Leftrightarrow 6y=2-x \Leftrightarrow y=\frac{2-x}{6}$

Αν έχω κάποια λάθη διορθώστε με γιατί δεν είμαι πολύ σίγουρος ούτε και πολύ εξοικειωμένος με τα μαθηματικά.Πριν λίγες μέρες μπηκα στο

Καλώς ήλθες Παναγιώτη .
Η εκφώνηση λέει να βρείς όλα τα ζευγάρια.Στην ουσία την έλυσες.
Από την τελευταία σχέση θα τα βρεις.
Θα βρεις συγκεκριμένους αριθμούς.
Το αφήνω σε εσένα να έχεις την χαρά ότι την έλυσες.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #6

Panagiotis11 έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$
Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$
Συνεπώς , $y\in \mathbb{N}$ ,άτοπο γιατί (χ,y) φυσικοί
Άρα $x+6y=2 \Leftrightarrow 6y=2-x \Leftrightarrow y=\frac{2-x}{6}$

Αν έχω κάποια λάθη διορθώστε με γιατί δεν είμαι πολύ σίγουρος ούτε και πολύ εξοικειωμένος με τα μαθηματικά.Πριν λίγες μέρες μπηκα στο

Ίσως υπάρχει ένα λαθάκι!

JimNt. · #7

Δεν είναι σωστό Νικόλα... Αν x>2

τι παρατηρείς;

Κατερινόπουλος Νικόλας · #8

JimNt. έγραψε:Δεν είναι σωστό Νικόλα... Αν τι παρατηρείς;

Όντως, από βιασύνη μού ξέφυγε...

Μέχρι ένα σημείο, είναι πολύ σωστό!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

Panagiotis11 έγραψε: Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$

Μέχρι εδώ τα πας πολύ καλά!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Κατερινόπουλος Νικόλας · #10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Καλώς ήλθες Παναγιώτη.
Η εκφώνηση λέει να βρείς όλα τα ζευγάρια. Στην ουσία την έλυσες.
Από την τελευταία σχέση θα τα βρεις.
Θα βρεις συγκεκριμένους αριθμούς.
Το αφήνω σε εσένα να έχεις την χαρά ότι την έλυσες.

Κύριε Σταύρο, καλησπέρα σας! Όσον αφορά αυτό, στο

ίσως συνηθίζεται να μην βάζουμε την απάντηση μέχρι τέλους, γιατί είναι απλή η συνέχεια.

Βάζουμε "το ζητούμενο έπεται" ή "τα υπόλοιπα εύκολα" κλπ. Καλό βράδυ!!!

#11

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$

Για όφελος των νεαρών μας μαθητών, ας δούμε και άλλη μία λύση:

Είναι $12y \le x^{2}+12y+6xy=4$ άρα $y \le \frac {1}{3}$ , οπότε για φυσικούς είναι y=0

. Τώρα η αρχική γίνεται x^2=4

, οπότε

.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$
Για όφελος των νεαρών μας μαθητών, ας δούμε και άλλη μία λύση:

Είναι $12y \le x^{2}+12y+6xy=4$ άρα $y \le \frac {1}{3}$ , οπότε για φυσικούς είναι . Τώρα η αρχική γίνεται , οπότε .

Πολύ καλή λύση!!! Δεν το πρόσεξα!

JimNt. · #13

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$

Μια άλλη λύση: Αν $x,y \ge 1$ $x^2+12y+6xy \ge 19>0$ Συνεπώς, ένας εκ των x,y

είναι ίσος με

. Ελέγχοντας (x,y)=(2,0)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #14

JimNt. έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$
Μια άλλη λύση: Αν $x,y \ge 1$ $x^2+12y+6xy \ge 19>0$ Συνεπώς, ένας εκ των είναι ίσος με . Ελέγχοντας

Κατερινόπουλος Νικόλας · #15

Αν υπάρχουν κι άλλες, θα τρελαθώ! Δεν μου πέρασαν καθόλου από το μυαλό!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #16

Panagiotis11 έγραψε: Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0 \Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$

Θα συνεχίσω την ωραία λύση σου για να την καταλάβεις!

Ισχύει ή x+2=0, χ=-2

απορρίπτεται ή $x-2+6y=0 \Rightarrow x=2-6y$

Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχω:

$(2-6y)^{2}+12y+12y-36y^{2}=4 \Rightarrow 4y=0$ άρα, $\boxed{y=0}$

Επομένως, $x^{2}+12y+6xy=4 \Rightarrow x^{2}=4 \Rightarrow \boxed{x=2}$

Άρα μοναδικές λύσεις $\boxed{(x,y)=(2,0)}$

Panagiotis11 · #17

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Panagiotis11 έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Η άσκηση είναι δικής μου κατασκευής. Σε περίπτωση λάθους, σας παρακαλώ να μού το επισημάνετε

Για τον Παναγιώτη:

Να βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών που ικανοποιούν την εξίσωση:

$x^{2}+12y+6xy=4$
Είναι $x^{2}-4+6xy+12y=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)+ 6y(x+2)=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2+6y)=0$
Συνεπώς , $y\in \mathbb{N}$ ,άτοπο γιατί (χ,y) φυσικοί
Άρα $x+6y=2 \Leftrightarrow 6y=2-x \Leftrightarrow y=\frac{2-x}{6}$

Αν έχω κάποια λάθη διορθώστε με γιατί δεν είμαι πολύ σίγουρος ούτε και πολύ εξοικειωμένος με τα μαθηματικά.Πριν λίγες μέρες μπηκα στο
Καλώς ήλθες Παναγιώτη .
Η εκφώνηση λέει να βρείς όλα τα ζευγάρια.Στην ουσία την έλυσες.
Από την τελευταία σχέση θα τα βρεις.
Θα βρεις συγκεκριμένους αριθμούς.
Το αφήνω σε εσένα να έχεις την χαρά ότι την έλυσες.

Προφανώς το ζητούμενο έπεται γιατί έπειτα από δοκιμές (x,y)=(2,0)

Κατερινόπουλος Νικόλας · #18

Panagiotis11 έγραψε:
Προφανώς το ζητούμενο έπεται γιατί έπειτα από δοκιμές

Αυτή είναι μια ολοκληρωμένη λύση!!! Μπράβο!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #19

Ωραία. Τώρα, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές των $x,y \in\mathbb{Z}$ .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #20

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Ωραία. Τώρα, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές των $x,y \in\mathbb{Z}$ .

Επαναφορά!

Ωραία!

Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Re: Ωραία!

Μέλη σε σύνδεση