Βρείτε τη ρίζα...

M.S.Vovos · #1

Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}$ , $\displaystyle{x\geqslant 1}$ Φιλικά,
Μάριος

#2

M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}$ , $\displaystyle{x\geqslant 1}$ Φιλικά,
Μάριος

...μία ημιτελής προσπάθεια....

Προφανής ρίζα είναι η x=1

και για

η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

${{\left( \frac{\ln x}{2} \right)}^{2}}-2\frac{1}{2}\ln x\sqrt{x-1}+{{\sqrt{x-1}}^{2}}=\sqrt{x}-1$ ή ${{\left( \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=\sqrt{x}-1,\,\,\,x\ge 1$ ή

$\left| \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right|=\sqrt{\sqrt{x}-1},\,\,\,x>1$ (1)

Τώρα η συνάρτηση $f(x)=\frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1},\,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(1,\,\,+\infty )$ με

${f}'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x-1}-x}{2x\sqrt{x-1}}$ και επειδή η

${f}'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x$ είναι αδύνατη άρα ${f}'(x)\ne 0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )$

και είναι και συνεχής επομένως θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $(1,\,\,+\infty )$ και αφού

${f}'(2)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{4}<0$ είναι ${f}'(x)<0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο

$[1,\,\,+\infty )$ οπότε για x>1

είναι

και η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα

$-\frac{\ln x}{2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}\ln x=0,\,\,\,x>1$

...και μετά

... ίσως ή προσέγγιση να μην είναι αυτή θα δείξει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}$ , $\displaystyle{x\geqslant 1}$ Φιλικά,
Μάριος
...μία ημιτελής προσπάθεια....

Προφανής ρίζα είναι η και για η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

${{\left( \frac{\ln x}{2} \right)}^{2}}-2\frac{1}{2}\ln x\sqrt{x-1}+{{\sqrt{x-1}}^{2}}=\sqrt{x}-1$ ή ${{\left( \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right)}^{2}}=\sqrt{x}-1,\,\,\,x\ge 1$ ή

$\left| \frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1} \right|=\sqrt{\sqrt{x}-1},\,\,\,x>1$ (1)

Τώρα η συνάρτηση $f(x)=\frac{\ln x}{2}-\sqrt{x-1},\,\,\,x\in [1,\,\,+\infty )$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(1,\,\,+\infty )$ με

${f}'(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x-1}-x}{2x\sqrt{x-1}}$ και επειδή η

${f}'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=x$ είναι αδύνατη άρα ${f}'(x)\ne 0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )$

και είναι και συνεχής επομένως θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $(1,\,\,+\infty )$ και αφού

${f}'(2)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{4}<0$ είναι ${f}'(x)<0,\,\,x\in (1,\,\,+\infty )$ άρα η είναι γνήσια φθίνουσα στο

$[1,\,\,+\infty )$ οπότε για είναι και η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα

$-\frac{\ln x}{2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x-1}+\frac{1}{2}\ln x=0,\,\,\,x>1$

...και μετά ... ίσως ή προσέγγιση να μην είναι αυτή θα δείξει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σίγουρα δεν είναι αυτή Βασίλη.Γιατί το συνέχισα χρησιμοποιώντας πυρηνικά και πάλι είναι μεγάλη η λύση.
Πιστεύω ότι ο Μάριος θα έχει κομψή και εύκολη λύση την όποια θα μας την γράψει.

Andreas Panteris · #4

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

$\frac{1}{4}{{\ln }^{2}}x-2\frac{\ln x}{2}\left( \sqrt{x}-1 \right)+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}=\sqrt{x}-x+{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}\ln x-\left( \sqrt{x}-1 \right) \right)}^{2}}=\sqrt{x}-x+x-2\sqrt{x}+1\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2}\ln x-\left( \sqrt{x}-1 \right) \right)}^{2}}=1-\sqrt{x}$ $\left( 1 \right)$

H $\left( 1 \right)$ έχει προφανή ρίζα την x=1

Για $x>1\Leftrightarrow \sqrt{x}>1\Leftrightarrow 1-\sqrt{x}<0$ , άρα η $\left( 1 \right)$ είναι αδύνατη.

Επομένως έχει μοναδική ρίζα την x=1

Andreas Panteris · #5

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

O δαίμων του τυπογραφείου (την προσπαθούσαμε το πρωί στο σχολείο) αντί για $\displaystyle{\sqrt{x-1}}$ έγραψε $\displaystyle{\sqrt{x}-1}$ .

M.S.Vovos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σίγουρα δεν είναι αυτή Βασίλη.Γιατί το συνέχισα χρησιμοποιώντας πυρηνικά και πάλι είναι μεγάλη η λύση.
Πιστεύω ότι ο Μάριος θα έχει κομψή και εύκολη λύση την όποια θα μας την γράψει.

Σαφέστατα Σταύρο έχω κομψή λύση μεν, σε καμία περίπτωση προφανή και εύκολη δε!

Να πω ότι την άσκηση την συνδέω με το προηγούμενο θέμα μου, που συζητήσαμε.

Σας θυμίζει κάτι αν $x=t^{2}+1$ , $t\in \mathbb{R}$ ;

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Καλησπέρα Μάριε.
Νομίζω ότι ήρθε η ώρα να βάλεις την λύση σου και να κλείσει το θέμα.

dement · #8

Ένα ωραίο ενδιάμεσο ερώτημα θα ήταν:

Αποδείξτε ότι

$\displaystyle \ln x < \sqrt{x^2-1} - \sqrt{x-1}$ για $x \in (1, + \infty)$

Andreas Panteris · #9

Μπορούμε να περιμένουμε λίγο ακόμα?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}$ , $\displaystyle{x\geqslant 1}$ Φιλικά,
Μάριος

Δεν νομίζεις Μάριε ότι πρέπει να βάλεις την λύση σου σε αυτή την ενδιαφέρουσα άσκηση;

M.S.Vovos · #11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση: $\displaystyle{\ln x\left ( \frac{\ln x }{4}-\sqrt{x-1}\right )=\sqrt{x}-x}$ , $\displaystyle{x\geqslant 1}$ Φιλικά,
Μάριος

Δεν νομίζεις Μάριε ότι πρέπει να βάλεις την λύση σου σε αυτή την ενδιαφέρουσα άσκηση;

Σταύρο καλησπέρα και ευχαριστώ που μου το θύμησες (με την εξεταστική δε προλαβαίνω να ασχοληθώ πολύ με το

).

Η άσκηση δεν είχε ανέβει τυχαία. Εν ολίγοις, η λύση που έχω πατά στην άσκηση που είχα ανεβάσει εδώ και συγκεκριμένα στο ερώτημα (γ.ii.)!
$\displaystyle{f(x)+x=2f^{-1}(x)\Leftrightarrow f\left ( \frac{f(x)+x}{2} \right )=x\Leftrightarrow \frac{f(x)+x}{2}+\ln \left [ \left ( \frac{f(x)+x}{2} \right )^{2}+1 \right ]=x}\Leftrightarrow ...$ Μετά από πράξεις (αρκετές) και την αλλαγή μεταβλητής που έδωσα παραπάνω, προκύπτει το ζητούμενο.

Όταν ξεμπλέξω με τα μαθήματα θα ανεβάσω λύση, αν και νομίζω πως ο κ. Δημήτρης (dement) έχει λύση, από τα λεγόμενα του.

Καλό βράδυ.

dement · #12

Δίνω τη λύση μου. Προφανώς $x \geqslant 1$ και η x=1

είναι λύση.

Λύνοντας το τριώνυμο ως προς $\ln x$ έχουμε

$\displaystyle \ln x = 2 \left( \sqrt{x-1} \pm \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)$

Για x>1

η πρώτη λύση απορρίπτεται εύκολα επειδή $\displaystyle \ln (\sqrt{x}) < \sqrt{x}-1 < \sqrt{x-1}$ και έτσι $\displaystyle \ln u = \ln (u^2) - \ln u = \sqrt{u^2-1} - \sqrt {u-1}$ όπου $u \equiv \sqrt{x}$ .

Αλλά η συνάρτηση $\displaystyle \ln u - \sqrt{u-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(1,+\infty)$ , οπότε η μοναδική λύση είναι x=1

.

M.S.Vovos · #13

dement έγραψε:Δίνω τη λύση μου. Προφανώς $x \geqslant 1$ και η είναι λύση.

Λύνοντας το τριώνυμο ως προς $\ln x$ έχουμε

$\displaystyle \ln x = 2 \left( \sqrt{x-1} \pm \sqrt{\sqrt{x}-1} \right)$

Για η πρώτη λύση απορρίπτεται εύκολα επειδή $\displaystyle \ln (\sqrt{x}) < \sqrt{x}-1 < \sqrt{x-1}$ και έτσι $\displaystyle \ln u = \ln (u^2) - \ln u = \sqrt{u^2-1} - \sqrt {u-1}$ όπου $u \equiv \sqrt{x}$ .

Αλλά η συνάρτηση $\displaystyle \ln u - \sqrt{u-1}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $(1,+\infty)$ , οπότε η μοναδική λύση είναι .

Απλή και περιεκτική λύση!

Παπαστεργίου Κώστας · #14

Αν έχετε την ευχαρίστηση εξηγήστε πως συνδέετε τη μονοτονία της $lnu-\sqrt{u-1}$ με την εξίσωση $lnu=\sqrt{u^{2}-1}-\sqrt{u-1}$
Ευχαριστώ
ΠΚ

dement · #15

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Αν έχετε την ευχαρίστηση εξηγήστε πως συνδέετε τη μονοτονία της $lnu-\sqrt{u-1}$ με την εξίσωση $lnu=\sqrt{u^{2}-1}-\sqrt{u-1}$
Ευχαριστώ
ΠΚ

Θέτοντας $f(u) \equiv \ln u - \sqrt{u-1}$ η εξίσωση γράφεται ως f(u) = f(u^2)

, αδύνατη λόγω μονοτονίας για u>1

.

Βρείτε τη ρίζα...

Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Re: Βρείτε τη ρίζα...

Μέλη σε σύνδεση