Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

#1

Καλησπέρα σας.
Μιας και πλέον δημοσιοποιήθηκαν τα θέματα (ενδεικτικά παραθέτω εδώ στο http://lisari.blogspot.gr/) θα ήθελα να
παρουσιάσω κάτι που είχε έρθει΄στην αντίληψή μου από την αρχική στιγμή που ήρθα σε επαφή με το θέμα.
Να πω πως αυτές οι εξετάσεις έχουν να κάνουν με προσομοίωση των πανελληνίων εξετάσεων που καλούνται οι μαθητές να δώσουν στο τέλος της σχολικής χρονιάς. Αυτός τουλάχιστον είναι ο ορισμός που έχω εγώ στο μυαλό μου. Αν οι εξετάσεις αυτές αποτελούν κάτι άλλο παρακαλώ να διορθωθώ.
Προκαταλαμβάνω και δηλώνω προς αποφυγή παρεξηγήσεων πως δε σκοπεύω ούτε τον έξυπνο να κάνω ούτε σκοπεύω να μειώσω κάποιον ή κάποιους καθώς ούτε και να χρησιμοποιήσω τα παρακάτω για να αφορίσω ή να κάνω μικροπολιτικά παιχνίδια. Δε θα ήθελα λοιπόν με τίποτα να μου χρεωθεί κάτι τέτοιο. Δεν είναι λοιπόν δόλιος ο σκοπός της δημοσίευσης. Ελπίζω να δώσω να καταλάβετε τι θα ήθελα.

Αρχικά λοιπόν παραθέτω την εκφώνηση του θέματος και την άποψή μου...

ΘΕΜΑ Δ-ΟΕΦΕ 2017

ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Έστω συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $A=\left( 0,+\infty \right)$ με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν:
• $f'(1)\ne -1$ και f(1)=1

• $f\left( {{f}^{2}}(x) \right)+{{f}^{2}}(x)=f(x)+x$ για κάθε x>0

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

.
Μονάδες 8
Δ2. Να δείξετε ότι για τη συνάρτηση

με
$g(x)=\left\{ \begin{matrix} \left( \int\limits_{1}^{2}{f(t)dt} \right)\cdot {{x}^{3}},x\ge 0 \\ \left( \int\limits_{2}^{3}{f(t-1)dt} \right)\cdot {{x}^{2}},x<0 \\ \end{matrix} \right.$
Ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $\Delta =\left[ -1,1 \right]$ .
Μονάδες 8
Επιπλέον θεωρούμε τη συνάρτηση $h(x)=f\left( {{x}^{2}}+1 \right),\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }x>0.$
Δ3. Να δείξετε ότι: $\int\limits_{2}^{3}{h(t)dt}>\int\limits_{1}^{2}{h(t)dt}.$
Μονάδες 5
Δ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση $\left( \int\limits_{2}^{3}{\left( h(t)\int\limits_{2}^{3}{h(u)du} \right)dt} \right)\cdot \left( x-2 \right)+f(x){{\left( \int\limits_{1}^{2}{h(t)dt} \right)}^{2}}=0$
έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $\left( 1,2 \right)$
Μονάδες 4
ΛΥΣΗ
Παραγωγίζοντας τη δοθείσα σχέση ( ισχύουν οι προϋποθέσεις παραγώγισης όταν x>0

) έχουμε

$2f'\left( {{f}^{2}}(x) \right)f(x)f'(x)+2f(x)f'(x)=f'(x)+1$ για κάθε x>0.

Υποθέτουμε ότι για κάποιο ${{x}_{0}}>0$ ισχύει ότι $f'({{x}_{0}})=0$ . Αντικαθιστώντας όπου $x\to {{x}_{0}}$ στην

τελευταία μας σχέση λαμβάνουμε ότι 0=1.

Αδύνατο.

Επομένως $f'(x)\ne 0$ για κάθε x>0

και λόγω της συνέχειας της πρώτης παραγώγου(δεδομένη) αυτή διατηρεί σταθερό πρόσημο.

Αν θέσουμε όπου $x\to 1$ πάλι στην τελευταία μας σχέση, λαμβάνουμε ότι:

$2{{\left( f'(1) \right)}^{2}}+f'(1)-1=0.$

Δηλαδή ο αριθμός f'(1)

είναι ρίζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης $2{{y}^{2}}+y-1=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\text{ y= -1}$ και

λόγω των δεδομένων δε μπορεί παρά $f'\left( 1 \right)=\frac{1}{2}>0$ .

Αυτό σημαίνει ότι f'(x)>0

για κάθε

.

Επομένως η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left( 0,+\infty \right)$ .

Ωραία ας εκμεταλλευτούμε τώρα τη μονοτονία της συνάρτησης μας.
Αφού ορίζεται η σύνθεση της ${{f}^{2}}$ με την

τότε προφανώς ${{f}^{2}}(x)>0\Rightarrow f(x)\ne 0$ για κάθε

x>0

και μιας και η

συνεχής για κάθε x>0

έχουμε ότι διατηρεί πρόσημο. Όμως από τα δεδομένα f(1)=1>0

Επομένως

για κάθε

Θεωρώ τη συνάρτηση $g(x)=f\left( {{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}},x>0$

Για $0<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}<{{x}_{2}}^{2}\overset{f\text{ }\!\!\gamma\!\!\text{ }\!\!\nu\!\!\text{ }\text{. }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!\xi\!\!\text{ o }\!\!\upsilon\!\!\text{ }\!\!\sigma\!\!\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}{\mathop{\Rightarrow }}\,f\left( {{x}_{1}}^{2} \right)<f\left( {{x}_{2}}^{2} \right)$ δηλαδή και η g εύκολα πλέον είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο $\left( 0,+\infty \right)$ (εύκολα με μια απλή άθροιση κατά μέλη).

Η αρχική δοθείσα συναρτησιακή γράφεται τώρα(αφού f(x)>0

και επιπλέον $\sqrt{x}>0$ , για κάθε x>0

):
$g\left( f(x) \right)=g\left( \sqrt{x} \right)$ για κάθε x>0

.

Κι επειδή η

είναι

(λόγω γνήσιας μονοτονίας) τελικά έχουμε

$f(x)=\sqrt{x},$ για κάθε x>0

.

Με μια επαλήθευση είμαστε οκ!

Τώρα ΟΛΑ τα παρακάτω ερωτήματα λύνονται βάζοντας στη θέση της άγνωστης συνάρτησης

τη γνωστή μας $\sqrt{x}$ !!!

Ότι χρησιμοποίησα είναι εντός σχολικής πραγματικότητας και θα μπορούσε κάλλιστα να χρησιμοποιηθεί κι από έναν προικισμένο μαθητή.
Φυσικά όπως προείπα δε σκοπεύω να μειώσω κανέναν. Οι συνάδελφοι της ΟΕΦΕ είναι καθόλα άξιοι, έμπειροι με γνώση του αντικειμένου και διδακτική πείρα πολλών ετών. Δε γνωρίζω βέβαια τον τρόπο που δημιουργούνται τα θέματα των εξετάσεων ή τη χρονική πίεση που έχουν οι δημιουργοί τους.
Δε σας κρύβω πως τρέμω την ιδέα να είχε συμβεί αυτό σε πανελλήνιες εξετάσεις. Τότε είμαι σίγουρος πως θα είχε έρθει ο κόσμος ανάποδα. Οι έτσι, οι αλλιώς που δε γνωρίζουν τι τους γίνεται, ο χοντρός ή ο λιγνός που τους έβαλε εκεί και άλλα πολλά θα ακούγονταν (δε θέλω να εξειδικεύσω αλλά έχει συμβεί πολλάκις και προσφάτως). Η πώληση μαθηματικής μαγκιάς ή η έκφραση μικροπολιτικών κακιών είπαμε δεν είναι σκοπός μου.
Ποιός είναι ο σκοπός μου τελικά;
Θα ήθελα να θίξω αυτό το φαινόμενο της ασκησιολογίας που χαρακτηρίζει τον κλάδο μας αλλά και τις σχολικές εξετάσεις (Πανελλήνιες ή μη).
Μπροστά στη "δημιουργία" μιας άσκησης που τελικά θα "μπουρδουκλώσει" τον μαθητή-υποψήφιο φτιάχνουμε τερατουργήματα (αυτή είναι η λέξη που μου έρχεται στο μυαλό) μα στο τέλος φτάνουν να μην έχουν κανένα νόημα ύπαρξης και ίσως κανένα ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ νόημα.
Κάντε μια βόλτα αυτήν τη στιγμή στο διαδίκτυο. Όλες οι σχετικές σελίδες είναι γεμάτες με "δημιουργίες" αμφιβόλου μαθηματικής ποιότητας οι οποίες βομβαρδίζουν εκπαιδευτικούς μα κυρίως τους μαθητές.
Για ελάτε και στη θέση των μαθητών. Πόσο τελικά θα αγαπήσουν τα μαθηματικά και θα θελήσουν να έρθουν κοντά τους; Δε θα ήθελα να είμαι απαισιόδοξος εδώ αλλά...είμαι!
Δηλαδή εν ολίγοις τι θα κόστιζε να κάτσουμε να φτιάξουμε ένα θέμα πάνω στη συμπαθέστατη συνάρτηση τετραγωνική ρίζα του x;; Δε θα είχε αυτό το μυστηριώδες ύφος σίγουρα, αλλά θα ήταν πιο διδακτική!
Πρέπει λοιπόν να αναλογιστούμε επιτέλους σοβαρά τις ευθύνες μας ΟΛΟΙ και αν θέλουμε μια βελτίωση της μαθηματικής παιδείας θα πρέπει να ασχοληθούμε σοβαρά και με τα θέματα που τίθενται στις εξετάσεις. Και όχι να πετροβολούμε οι μεν τους δε.
Με πολύ καλή διάθεση και πρόθεση.
Καλή επιτυχία σε όλους τους εμπλεκόμενους στις πανελλήνιες εξετάσεις κυρίως όμως στους μαθητές!!
Χρήστος Κυριαζής
Μαθηματικός

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Δεν νομίζω ότι αυτό που αναφέρεις είναι πρόβλημα Χρήστο.
Αλλού είναι το πρόβλημα (κατά την γνώμη μου)αλλά δεν έχω καμία διάθεση να το θίξω.
Τα ερωτήματα Δ2,Δ3,Δ4 είναι απλούστατα και δεν χρειάζεται να βρούμε την συνάρτηση για να τα κάνουμε.
Χρειάζεται λιγότερος κόπος να γίνουν απ ευθείας.
Τα κάνω
Δ2
Η $g(x)=ax^{3},x\geq 0\wedge g(x)=bx^{2},x< 0$
είναι συνεχής και παραγωγίσημη στο $\mathbb{R}$
Η απόδειξη είναι πασίγνωστη και την παραλείπω.
Δ3
Η h(x)

είναι γνησίως αύξουσα (πανεύκολο) οπότε
$\int_{2}^{3}h(t)dt=\int_{1}^{2}h(t+1)dt> \int_{1}^{2}h(t)dt$
Δ4
Γράφεται k(x-2)+rf(x)=0

Εχει το πολύ μια ρίζα λόγω μονοτονίας .
Θέτουμε
k(x-2)+rf(x)=q(x)

έχουμε

Επειδή το $k=(\int_{2}^{3}h(t)dt)^{2}$ και f(1)=1

λόγω του Δ3 προκύπτει q(1)< 0

Ενας Bolzano ολοκληρώνει την απόδειξη.

Η γνώμη η δική μου σε τέτοιου είδους θέματα δηλαδή να βρει κάποιος την συνάρτηση και αντικαθιστώντας να κάνει
τα υπόλοιπα ερωτήματα δεν συνιστά πρόβλημα για το θέμα.
Οπως βλέπεται και από τις λύσεις που έδωσα περισσότερο κόπο θα κάνει αν αντικαταστήσει την συνάρτηση.

#3

Καλησπέρα Σταύρο!
Εγώ δεν εξετάζω αυτό αν και εσύ τα παρουσιάζεις υπεραπλουστευμένα(και πολύ καλά κάνεις, μαθηματικοί είμαστε). Ένας μαθητής(δυστυχώς ή ευτυχώς) πρέπει να πει κι άλλα πολλά.
Η δική μου τοποθέτηση έχει να κάνει περισσότερο με τη διδακτική χρησιμότητα τέτοιων ασκήσεων.
Να προσθέσω στην αρχική μου τοποθέτηση πως η άσκηση φυσικά και δεν έχει λάθος. Απλά κάποιος μπορεί να βρεί το "κουμπί" της σχετικά εύκολα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Καλησπέρα Χρήστο.
Την άσκηση την έβαλε ο ΟΕΦΕ.
Που αν δεν κάνω λάθος είναι η ένωση Φροντιστών.
Θεωρώ ότι δεν μου πέφτει λόγος αν είναι διδακτική η όχι.
Οι άνθρωποι είναι επαγγελματίες οπότε μπορούν να κάνουν ότι θέλουν στα φροντιστήρια τους.
Το θέμα είναι τι κάνει ,το υπουργείο ,η ΕΜΕ καθώς και οι καθηγητές στα δημόσια σχολεία.
Εκεί ευχαρίστως σαν πολίτης να πω την γνώμη μου.

#5

Σταύρο διαφωνούμε. Όλοι εχουμε ευθύνες, όλοι κρινόμαστε και φυσικά όλοι μπορούμε να κρίνουμε.
Ειδικά όταν έχουμε να κάνουμε με παιδιά αλλά και τη διδασκαλία των μαθηματικών. Το ότι ήταν θέμα οεφε είναι τυχαίο. Όπως προείπα θα μπορούσε να ήταν και θέμα πανελληνίων. Τότε;
Θα ήταν πόλος σκληρής κριτικής; Δε μπορώ να μιλήσω υποθετικά αλλά η εκτίμηση μου είναι ότι θα ήταν.

S.E.Louridas · #6

Καταρχάς και πάντα κατά τη ταπεινή μου άποψη δεν θα πρέπει αυτό το καιρό λίγο πριν τις εξετάσεις να αναδεικνύονται θέματα που θέτουν σε αμφισβήτηση την ποιότητα των κατασκευαστών προβλημάτων και μάλιστα αν προηγούμενα δεν έχουν απαντηθεί βασικά προ απαιτούμενα ερωτήματα, όπως
1ο ) έχουν τα παιδιά διδαχθεί στο σχολείο αλγεβρικό λογισμό σε επίπεδο που να έχει μέσα τους αναπτυχθεί η επαγωγική διαδικασία τεκμηρίωσης; κτλ.
2ο ) έχουν τα παιδιά τις προ απαιτούμενες από το σχολείο τις απαραίτητες γνώσεις γλώσσας, ώστε να κατανοούν την λειτουργία και όχι επιδερμικά τη σύνδεση μεταξύ των δεδομένων και των ζητουμένων της εκφώνησης ενός μαθηματικού προβλήματος; Αλλά και να μπορούν να τεκμηριώσουν με μεγάλη (προφανώς όχι απόλυτη λόγω ηλικίας) ακρίβεια αλλά και λιτά και όσο το δυνατόν αυστηρά;
κτλ.
3ο ) είναι η διαδικασία επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος ικανή και αναγκαία συνθήκη ανίχνευσης της δυνατότητας κατανόησης των μαθηματικών εννοιών κτλ. και βέβαια τι σημαίνει ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΘΕΜΑ και για ποιόν ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ λόγο κρίνεται ως τέτοιο;
κτλ.
Το σπουδαιότερο όμως για μένα είναι να απαντηθεί το ερώτημα: πρέπει τα θέματα να είναι τέτοια που τελικά να περνά π.χ. στο Μαθηματικό κάποιος που δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις μαθηματικές απαιτήσεις ή στη φιλοσοφική κάποιος που δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις αντίστοιχες απαιτήσεις; Βέβαια η προσωπική μου γνώμη είναι ΟΧΙ. Και εντάξει στο κάτω κάτω ο ανεπαρκής μαθηματικός ή φυσικός ή φιλόλογος δεν παράγει άμεσα θύματα, αλλά ο ιατρός;
ΝΑΙ Παράκληση: Θα παρακαλούσα εδώ στο mathematica να ανοιχτεί μία ειδική στήλη για όσους συναδέλφους διδάσκουν την ύλη της Γ’ Λυκείου και ΑΝ έχουν το χρόνο να αρχίσουν να παρουσιάζουν ολοκληρωμένες προτάσεις θεμάτων που κατά την άποψη τους είναι κατάλληλα και ει δυνατόν να αιτιολογούν τις στοχεύσεις των ερωτημάτων και τι περιμένουν ως ανταπόκριση από τους εξεταζόμενους. Θεωρώ ότι αυτή θα ήταν μία πολύ καλή προσφορά, ώστε τελικά να διαμορφωθεί το κλίμα συνισταμένη. Σίγουρα θεωρώ ότι μία τέτοια προσπάθεια τελικά δεν θα πέρναγε στα «ψηλά» ακόμα και από τους οσοδήποτε «ψηλά».
Προφανώς με την ειλικρινή σταθερή εκτίμηση προς όλους του συναδέλφους και φίλους εδώ.

#7

S.E.Louridas έγραψε: Το σπουδαιότερο όμως για μένα είναι να απαντηθεί το ερώτημα: πρέπει τα θέματα να είναι τέτοια που τελικά να περνά π.χ. στο Μαθηματικό κάποιος που δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις μαθηματικές απαιτήσεις ή στη φιλοσοφική κάποιος που δεν μπορεί να ανταποκριθεί στις αντίστοιχες απαιτήσεις; Βέβαια η προσωπική μου γνώμη είναι ΟΧΙ. Και εντάξει στο κάτω κάτω ο ανεπαρκής μαθηματικός ή φυσικός ή φιλόλογος δεν παράγει άμεσα θύματα, αλλά ο ιατρός;

Σωτήρη καλησπέρα!
Εγώ πιστεύω πως ναι ανάμεσα στους μαθητές υπάρχουν και οι προικισμένοι. Εσύ τους ξέρεις καλύτερα όντας ασχολούμενος χρόνια με τους
διαγωνισμούς.
Απομόνωσα το παραπάνω κομμάτι γιατί ίσως δεν κατανόησες τη θέση μου. Η θέση μου είναι η εξής:
Από το να κρύβουμε μια συνάρτηση και να τη βάζουμε να κάνει διάφορα(και στο τέλος να...αποκαλύπτεται κιόλας) θα ήταν πιο όμορφο να πάρουμε π.χ τη ρίζα και να κατασκευάσουμε κι εϋκολα και πολύ δύσκολα ερωτήματα. Αμφιβάλλεις πως μπορει να γίνει αυτό; Είμαι σίγουρος πως όχι. Κανείς δε μίλησε αποκλειστικά για εύκολα θέματα. Για τίμια ναι, αυτό εννοώ. Καλό βράδυ.

S.E.Louridas · #8

Χρήστο δεν απάντησα σε σένα, απλά γενίκευσα. Και μάλιστα με αυτά που έγραψα στο σύνολό τους θεωρώ ότι συναντόμαστε σε πολλά. Θα ήθελα όμως επιτέλους και μέσω παραδειγμάτων από τους καθύλη αρμόδιους (διδάσκοντες και συμβούλους που τους τιμώ ακόμη περισσότερο, αν λάβουμε υπόψη τις συνθήκες κάτω από τις οποίες δουλεύουν) την συνισταμένη άποψη: Σε τι είδους θέματα θα πρέπει να εξετάζονται οι αντίστοιχοι εξεταζόμενοι, ώστε να μην έχουμε φαινόμενα ακαταλληλότητας στη συνέχεια. Πάντως θα ήθελα να επισημάνω ότι ένα πάρα πολύ σημαντικό από τα προβλήματα που δημιουργούνται από την κατασκευή θεμάτων, είναι ότι οι κατασκευαστές "πέφτουν" πολλές φορές θύματα της δημιουργίας μίας άτυπης μόδας. Για παράδειγμα επί σειρά ετών το τέταρτο θέμα ήταν εξελισσόμενο πάνω σε συνάρτηση με τύπο ολοκλήρωμα. Προσωπικά ως κατασκευαστής προβλημάτων για τους διαγωνισμούς της ΕΜΕ αλλά και σε διεθνές επίπεδο, προσπαθούσα να "σπάσω" κάποια πιθανά διαφαινόμενη μόδα, όχι με κατανάγκη δύσκολο θέμα, και μάλιστα σε κάποιες φάσεις είχα δεχτεί μη καλά σχόλια για αυτό, επειδή λόγω αυτού του γεγονότος υπήρχαν βαθμολογικές παληνδρομίσεις σε εξεταζόμενους που δεν ήταν αναμενόμενες.
Επιμένω στην ήδη κατατεθείσα πρόταση μου:

S.E.Louridas έγραψε: Θα παρακαλούσα εδώ στο mathematica, να ανοιχτεί μία ειδική στήλη για όσους συναδέλφους διδάσκουν την ύλη της Γ’ Λυκείου και ΑΝ έχουν το χρόνο να αρχίσουν να παρουσιάζουν ολοκληρωμένες προτάσεις θεμάτων που κατά την άποψη τους είναι κατάλληλα και ει δυνατόν να αιτιολογούν τις στοχεύσεις των ερωτημάτων και τι θα έπρεπε να περίμεναν ως ανταπόκριση από τους εξεταζόμενους. Θεωρώ ότι αυτή θα ήταν μία πολύ καλή προσφορά, ώστε τελικά να διαμορφωθεί το κλίμα συνισταμένη. Σίγουρα πιστεύω ότι μία τέτοια προσπάθεια τελικά δεν θα πέρναγε στα «ψηλά» ακόμα και από τους οσοδήποτε «ψηλά».

Tolaso J Kos · #9

Θα συμφωνήσω με την άποψη του Χρήστου ότι απο το να κρύβουμε μια συνάρτηση και στη συνεχεια να βάζουμε διάφορα στολίδια και να φτιάχνουμε ερωτήματα ειναι προτιμότερο να πατήσουμε πάνω στην ίδια τη συνάρτηση και να φτιάξουμε είτε εύκολα είτε δύσκολα ερωτήματα ...

Χρήστο , δε ξέρω την άποψή σου για την αισθητική του θέματος πάντως προσωπικά με αφήνει αδιάφορο μιας και το βρίσκω "Χριστουγεννιάτικο " ... Θα θελα να ξερα βέβαια πώς αντιμετωπίζουν οι μαθητές τα θέματα αυτά και με τι ψυχολογία ..!!

Βέβαια πρέπει κάποια στιγμή να το πάρω απόφαση πως ζούμε στην Ελλάδα και ορισμένα πράγματα ειναι διαχρονικές αξίες και δεν αλλάζουν !!!

Μπουμπουλής Κώστας · #10

Θα συμφωνήσω κι εγώ με τον Χρήστο. Κι αφού η συνάρτηση μπορεί να βρεθεί και μάλιστα όχι πολύ δύσκολα, θα μπορούσε να δοθεί η εύρεσή της ως ερώτημα. Εξ άλλου αυτό είναι μια " αυθόρμητη" κίνηση μαθητών και καθηγητών. Θυμηθείτε τί έγινε πέρυσι στο τέταρτο θέμα. Εκεί βέβαια προνόησαν να μη μπορεί να βρεθεί η συνάρτηση προς αποφυγήν των παρεξηγήσεων που αναφέρει ο Χρήστος. Η εύρεση της συνάρτησης (από καθαρή περιέργεια) ήταν και δικό μου μέλημα και μάλιστα έκανα την ίδια λύση. Διαπίστωσα στην τάξη ότι κάποιοι μαθητές θεώρησαν απαραίτητο να την βρουν για να συνεχίσουν και κάποιοι μάλιστα - προς έκπληξή μου- βρήκαν τη βοηθητική συνάρτηση που αναφέρει ο Χρήστος. Με λίγη βοήθεια και καθοδήγηση βρήκαν και τη συνάρτηση.

#11

Ο Χρήστος, με την υποδειγματικά καλοπροαίρετη κριτική του στο Θέμα Δ της Ο.Ε.Φ.Ε., άνοιξε ένα πολύ ενδιαφέρον και επίκαιρο θέμα ενόψει των πανελλαδικών εξετάσεων.
Οι εξετάσεις αυτές (που δεν είναι πλέον – ούτε και τυπικά – «απολυτήριες») έχουν αποκλειστικό στόχο να εξυπηρετήσουν το σύστημα του «κλειστού αριθμού εισακτέων» (numerous clausus), δηλαδή να κατατάξουν με ορθολογικό τρόπο στις διάφορες βαθμολογικές κλάσεις τους «αριστούχους» που παράγονται μαζικά στην Γ΄ Λυκείου. Δεν χρειάζεται να επιχειρηματολογήσει κανείς πολύ για να πείσει ότι ο στόχος αυτός είναι εξαιρετικά δύσκολος: το αποδεικνύει το ετήσιο, διαρκές και ενίοτε χαοτικό ανεβοκατέβασμα του ποσοστού των αριστούχων (κλάση [18–20]) την τελευταία 15ετία. Και αυτό παρά τις αλλοπρόσαλλες «δημιουργίες» και «συνθέσεις» που επινοούν τα μέλη της εκάστοτε επιτροπής θεματοδοτών, στη διάρκεια μιας ολονύκτιας και αγχώδους συνεδρίασης (ή μήπως εξαιτίας αυτών;).
Ο συγκεκριμένος στόχος μπορεί όμως να επιτευχθεί και με διάφορους άλλους τρόπους, χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουμε σε ακαλαίσθητα πολυώνυμα που έχουν ως συντελεστές ορισμένα ολοκληρώματα. Ένας τέτοιος είναι π.χ. να λάβουμε υπόψη κατά τη δημιουργία των θεμάτων τις διάχυτες και ευρύτατα γνωστές παρανοήσεις των μαθητών για την αποδεικτική διαδικασία, τη χρήση των μεταβλητών και παραμέτρων κ.λπ.
Επειδή η συζήτηση ξεκίνησε με την ασκησιολογική «αξιοποίηση» της συνάρτησης τετραγωνική ρίζα, αναφέρω για του λόγου το αληθές το ακόλουθο παράδειγμα:
Η παρακάτω άσκηση – «απλή» σύνθεση παραδειγμάτων και ασκήσεων του σχολικού βιβλίου – δόθηκε αρκετές φορές, στο πλαίσιο επαναληπτικών διαγωνισμάτων, σε μαθητές της Γ΄ τάξης διαφόρων Λυκείων τις τελευταίες εβδομάδες πριν από τις πανελλαδικές εξετάσεις (μαθητές αστικών περιοχών, που είχαν υποστεί όλο το έτος πολύωρη ενδοσχολική και εξωσχολική προετοιμασία):
Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt x ,{\rm{ }}x \ge 0}$
1) Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη στο πεδίο ορισμού της.
2) Αν $\xi > 0$ , να αποδείξετε ότι η ευθεία $\varepsilon$ που διέρχεται από τα σημεία $A(\xi, f(\xi))$ και $B(–\xi, 0)$ είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

.
3) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

, την εφαπτομένη $\varepsilon$ και τoν άξονα των

.
4) Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των χωρίων στα οποία χωρίζεται το $\Omega$ από τον άξονα των

.
5) Να εξετάσετε αν υπάρχει αριθμός $\alpha$ τέτοιος ώστε η ευθεία $x=\alpha$ να χωρίζει το χωρίο $\Omega$ σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Τα αποτελέσματα ήταν κάθε φορά απογοητευτικά και ανησυχητικά, καθώς και το συμπέρασμα στο οποίο κατέληγαν οι διδάσκοντες μετά τη διόρθωση των γραπτών: τη «ζημιά» την έκανε η παρουσία της παραμέτρου $\xi$ στα δεδομένα της άσκησης.
Θα μπορούσα να αναφέρω πολλά ενδιαφέροντα έως και τραγελαφικά ευρήματα από τον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές διαχειρίστηκαν το περιβόητο $\xi$ στη συγκεκριμένη άσκηση. Αλλά είναι εύκολο να τα διαπιστώσει ο καθένας επαναλαμβάνοντας το «πείραμα» στην τάξη του …

Γιάννης Θωμαΐδης

S.E.Louridas · #12

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να επανέλθω, αφού κάθισα λίγο παραπάνω στην όλη συζήτηση.
Το όλο εγχείρημα με έκανε να θυμηθώ δύο πράγματα. Το πρώτο είναι το σχόλιο στο βιβλίο της Α’ Λυκείου στο κεφάλαιο της λογικής: Μπορεί ο ισχυρισμός $p \Rightarrow q$ να είναι αληθής, όταν η

είναι ψευδής, ανεξάρτητα από τη τιμή αλήθειας του συμπεράσματος

, αλλά θα ασχοληθούμε με συνεπαγωγές $p \Rightarrow q$ όταν η υπόθεση

είναι αληθής. Το δεύτερο είναι όταν κάποτε είχε τεθεί το θέμα «Αν υπάρχει συνάρτηση $f\left( x \right)$ τέτοια που …, τότε, …». Αν θυμάστε δεν μπορούσε να αποδειχτεί ότι υπήρχε τέτοια συνάρτηση και έγινε το σώσε με βαριές φράσεις εναντίον της επιτροπής κτλ. Το άμεσο ερώτημα; ……. Το κακό βέβαια σε όλες αυτές τις περιπτώσεις είναι ότι οι «κατήγοροι» δεν αντιπροτείνουν ποτέ μα ποτέ μοντέλο θέματος του δέον, αλλά όχι ξερά και λιτά αλλά να καταγράψουν όλη τη κατασκευαστική διαδικασία. Αυτό βέβαια αν δεν γίνει θα έχει σαν αποτέλεσμα το ακόμα περισσότερο περιβάλλον χωρίς φως. Θα πρέπει λοιπόν στο θέμα – μοντέλο, να ακολουθείται μία γενική διαδικασία που είναι πεπατημένη (αν υπάρχει κάτι άλλο καλό είναι να μαθευτεί). Η κατασκευή ενός πρωτότυπου θέματος έχει το εξής απλό σκεπτικό: Καταρχάς βάζω σαν στόχο τι θέλω να εξετάσω, δηλαδή ποια σημεία θα ήθελα να δω αν ο μαθητής γνωρίζει. Στη συνέχεια βάζω σαν στόχο την δυνατότητα συσχετισμού των εμπλεκόμενων στόχων γνώσης που είχα σαν πρώτο στόχο. Τέλος βάζω σαν στόχο να δω αν ο εξεταζόμενος έχει τη δυνατότητα δημιουργίας δικής του μεθόδου επίλυσης μέσα από κινήσεις πρωτότυπες ως προς το συγκεκριμένο σύνολο εννοιών και μη φανερές άμεσα. Για το σκοπό αυτό είναι αναγκαία η επιλογή ενός γνωστού θέματος από τη θεωρία ή από «σοβαρή» άσκηση ή σοβαρές ασκήσεις και η απομόνωση των ιδιοτήτων που ήδη υπάρχουν εκεί και συνδυάζοντας αυτά κτίζω το θέμα. Στη συνέχεια βέβαια μετατρέπομαι σε λύτη «κατήγορο» του εαυτού μου μήπως προκύψει καμμιά άλλη λύση που ταυτόχρονα να υποβιβάζει το επίπεδο του θέματος από εκείνο που σε πρώτη φάση θεωρήθηκε. Αν δεν υπάρχει τέτοια λύση ανακοινώνουμε το θέμα μας. Για παράδειγμα: Στο θέμα της Γεωμετρίας της ΒΜΟ 2017 των Σιλουανού - Ψύχα ως γνωστό θέμα εκκίνησης επιλέχτηκε το θεωρητικό θέμα της σπουδής και των ιδιοτήτων της έννοιας «συμμετροδιάμεσος», αυτό αποκρύφτηκε έντεχνα με ένα πλήθος από γραμμές, επενδύθηκε από το κριτήριο εγγραψιμμότητας τετράπλευρου που οδηγήθηκε στη κομβική παραλληλία και τέθηκε. Στη συνέχεια είδαμε ότι το θέμα αυτό είναι ένα αξιόλογο πρωτότυπο θέμα με πλουραλισμό λύσεων, ορισμένες εκ των οποίων δεν χρειάστηκαν τη γνώση «συμμετροδιάμεσος» … και ; Στο θέμα του συναδέλφου από τον ΟΕΦΕ, είδαμε ότι επιλέχτηκε από το συνάδελφο ως θέμα εκκίνησης η $f\left( x \right) = \sqrt x \,/\;\left[ {0,\, + \infty } \right)$ και τις ιδιότητες της και δρώντας ανάλογα έδωσε το θέμα που είδαμε. Σε αυτό το θέμα είδαμε τόσο τη λύση του συναδέλφου Σταύρου Παπαδόπουλου που δεν χρειάστηκε καν η ανίχνευση της συνάρτησης, όσο και τη λύση του Χρήστου που πρώτα έλυσε τη συναρτησιακή προσδιορίζοντας τη συνάρτηση (με πολύ δύσκολη από μαθητή προσέγγιση) και μετά τεκμηρίωσε ... και; Ως προς αυτό λοιπόν το σημείο δεν βλέπω ουσιαστικό πρόβλημα. Στο παρελθόν βέβαια τέθηκαν και θέματα από άλλες χώρες όπως από Ρουμανία με εμφανή άμεσα και με μία μικρή μη ουσιώδη τροποποίηση. Αυτό για μένα δεν είναι καθόλου καλό αφού ακόμα και η κοινωνικές διαφορές μεταξύ κρατών παίζουν ρόλο, πολλώ δε μάλλον οι διαφορές στην εκπαίδευση, αλλά και οι πιθανές μεταφραστικές κακές στιγμές, άσε που εδώ αναδεικνύεται και ένα είδος κατασκευαστικής αδυναμίας.
Έτσι εμμένω στη πρόταση μου.
Θα παρακαλούσα εδώ στο mathematica, να ανοιχτεί μία ειδική στήλη για όσους συναδέλφους διδάσκουν την ύλη της Γ’ Λυκείου και ΑΝ έχουν το χρόνο να αρχίσουν να παρουσιάζουν ολοκληρωμένες προτάσεις θεμάτων που κατά την άποψη τους είναι κατάλληλα και ει δυνατόν να αιτιολογούν τις στοχεύσεις των ερωτημάτων και τι θα έπρεπε να περίμεναν ως ανταπόκριση από τους εξεταζόμενους. Θεωρώ ότι αυτή θα ήταν μία πολύ καλή προσφορά, ώστε τελικά να διαμορφωθεί το κλίμα συνισταμένη. Σίγουρα πιστεύω ότι μία τέτοια προσπάθεια τελικά δεν θα πέρναγε στα «ψηλά» ακόμα και από τους οσοδήποτε «ψηλά».

#13

Σωτήρη δε θεωρώ δύσκολο να σκεφτεί ένας πολύ καλός μαθητής κάτι τέτοιο. Υπάρχουν τέτοιοι ανάμεσα στους υποψήφιους και ...ευτυχώς που υπάρχουν. Ο Κώστας Μπουμπουλής περιγράφει κάτι τετοιο νομίζω. Διαφωνούμε στο ότι θέτοντας τη ρίζα στη θέση της συνάρτησης το πρόβλημα γίνεται δυσκολότερο. Θεωρώ πως μάλλον απλούστερο γίνεται αφού ο λύτης γνωρίζει τη συνάρτηση και μπορεί να κινηθεί αλλιώς και με περισσότερα εργαλεία πλέον. Τι να κάνουμε διαφορά απόψεων! Επίσης ο Σταύρος δεν παραθέτει λύση παρά κάνει τις απαραίτητες υποδείξεις.
Αναρωτιέμαι όμως τι θα λέγαμε αν είχε συμβεί το ίδιο σε περιβάλλον "πανελληνίων". Θα λέγαμε τα ίδια; Θα λέγαμε άλλα; Ποιός ξέρει...
Όσον αφορά την προτασή σου καλό θα ήταν να την ακούσουν οι υψηλά ιστάμενοι και να δημιουργήσουν μιά τράπεζα θεμάτων ιδανικών για τέτοιου είδους εξετάσεις.
Δε θα τοποθετηθώ άλλο γιατί θα επαναληφθώ.
Καλό βράδυ σε όλους.
Υ.Γ: Όταν λέω "υψηλά ιστάμενοι" εννοώ φυσικά όσους είναι σε κατάλληλες θέσεις στο αρμόδιο υπουργείο ή στους αρμόδιους φορείς.

S.E.Louridas · #14

Βεβαίως Χρήστο και υπάρχουν καλοί μαθητές που μπορούν να λύσουν όπως εσύ το θέμα και μακάρι τα θέματα να ήταν τέτοια που να αναδείκνυαν καλούς μαθητές μέσω άλλων λύσεων, προσωπικά θα το ήθελα. Τελικά και επι της ουσίας συμφωνούμε όλοι σε ένα συνδυασμό Τίμιων και Αξιοκρατικών θεμάτων και κατά την άποψη μου χωρίς τη ποδηγέτηση μιάς "άτυπης μόδας".

chris_gatos έγραψε: Υ.Γ: ... όσους είναι σε κατάλληλες θέσεις στο αρμόδιο υπουργείο ή στους αρμόδιους φορείς.

Προσωπικά δηλώνω ότι θεωρώ κάτι τέτοιο (... όσους είναι σε κατάλληλες θέσεις στο αρμόδιο υπουργείο ή στους αρμόδιους φορείς) ανύπαρκτο επί της ουσίας μακράν. Δυστυχώς σε αυτή τη πατρίδα την παρτίδα σώζουν εσείς οι διδάσκοντες, η φουρνιά καλών συμβούλων και οι φροντιστές, κύρια με τις υπερβάσεις που κάνουν. Μέχρι δε τώρα και κάποιες εξαιρέσεις στους επίσημους φορείς να υπήρξαν δεν έδεσαν με το όλο σκηνικό.
Για να καταλήξω θα ήθελα να επισημάνω ότι η ΚΕΓΕ θα πρέπει να συνεχίσει να αποτελείται από συμβούλους επί του γνωστικού και τη διδακτική του και από διδάσκοντες συναδέλφους το μάθημα για τουλάχιστον τρία χρόνια.

edit: Τοποθέτηση της λέξης "τουλάχιστον" στη κατάλληλη θέση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.(Αναφέρομαι στην παραπάνω απάντηση του Χρήστου)
Αν θέσουμε $f(x)=\sqrt{x}$ τότε
στο Δ2 το οποίο ισχύει για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ

τι άλλο μπορούμε να κάνουμε;
Το μόνο που βλέπω είναι να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.
Στο Δ3 το οποίο ισχύει για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ

γνησίως αύξουσα
τι άλλο μπορούμε να κάνουμε;
Το μόνο που βλέπω είναι να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.
Στο Δ4 το οποίο ισχύει για ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ

γνησίως αύξουσα με f(1)=1

τι άλλο μπορούμε να κάνουμε;
Το μόνο που βλέπω είναι να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.

Δηλαδή αν πάρουμε $f(x)=\sqrt{x}$ εκείνο που θα αλλάξει από την λύση που έδωσα
παραπάνω είναι να υπολογίσουμε ολοκληρώματα.
Αν κάποιος θεωρεί ότι έτσι γίνεται πιο εύκολη η λύση εγώ δεν έχω να πω τίποτα.
Με ξεπερνάει.

#16

Σταύρο καλημέρα! Μην εξαπτεσαι είναι το τελευταίο που θέλω. Εσύ εχεις την αποψή σου για την ευκολία εγώ έχω τη δική μου κτλ. Όμως ο κύριος σκοπός της δημοσίευσης μου δεν είναι αυτός.
Ο Σωτήρης τον προσέγγισε στο τελευταίο του μηνυμα και τον ευχαριστώ πολύ. Ας μη φύγουμε από αυτόν το δρόμο κι ας δούμε τι καλύτερο μπορούμε να κάνουμε στο μέλλον.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

chris_gatos έγραψε: Μην εξαπτεσαι είναι το τελευταίο που θέλω. .

Νομίζω ότι τέτοιες εκφράσεις δεν πρέπει να χρησιμοποιούνται στο

#18

Σταύρο νομίζω πως εξαρχής εχω πει πως έχω καλή πρόθεση. Ακόμη κι αυτό που απομόνωσες γραφτηκε
με την ίδια διάθεση. Αν παρεξηγήθηκες από αυτό ζητώ συγνώμη. Αλλάζω λοιπόν αρδην το υφος και γράφω ξερά:
Εντάξει μας είπες την αποψή σου την οποία σεβόμαστε .
Επετρεψέ μας όμως να έχουμε και τη δική μας χωρίς να ξεπερνάμε κανένα.

#19

Νομίζω ότι η μαθηματική κοινότητα είναι μια και απαρτίζεται από όλους όσους παράγουν ή μεταδίδουν τα Μαθηματικά.
Επίσης νομίζω ότι κάποιες δραστηριότητες της όπως η παραγωγή θεμάτων, ασκήσεων, βιβλίων, άρθρων κτλ εμπίπτουν στον δημόσιο λόγο.
Επομένως επιδέχονται κριτική. Που βέβαια πρέπει να είναι προσεκτική και να λαμβάνει υπ΄όψιν "τοπικές" συνθήκες εφ' όσον υπάρχουν.
Εκτός εάν έχουμε πολλές μαθηματικές κοινότητες που δεν επικοινωνούν.

S.E.Louridas · #20

Μετά ταύτα:

Ας μου επιτραπεί να ευχυθώ καλή δύναμη στους εξεταζόμενους που είναι παιδιά, άρα πολίτες ύψιστης καθαρότητας, που ονειρεύονται με στόχο την πραγματοποίηση των ονείρων τους και από τα οποία παιδιά δεν μπορεί να κρυφτεί κανείς (... πως να κρυφτείς από τα παιδιά που έτσι και αλλοιώς τα ξέρουν όλα, σαν σε κοιτούν με μάτια σαν και αυτά σαν σε ξυπνούν στις δύο η ώρα..., όπως τραγουδά ο Διονύσης). Να ευχηθώ καλή δύναμη στους Έλληνες συμβούλους εκείνους που τιμούν τον κορυφαίο ρόλο τους, στους Έλληνες καθηγητές της δημόσιας εκπαίδευσης αλλά και στους Έλληνες φροντιστές. Για όλους εμάς εύχομαι να δώσουμε την αίσθηση ότι είμαστε ασπίδα προστασίας για τα εξεταζόμενα παιδιά στο περιβάλλον των εξετάσεων και όχι να δώσουμε την ψευδή τελικά εντύπωση ότι είμαστε οι "αυθεντίες" και οι αλάθητοι και όλα αυτά μόνο κατα τη διαδικασία των εξετάσεων και ότι μόνο εμείς θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε το τέλειο θέμα κλπ., κλπ.,..., κλπ.
Εύχομαι τέλος στην ΚΕΓΕ καλή δύναμη για Τίμια και Αξιοκρατικά θέματα.

Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Re: Με αφορμή το θέμα Δ των εξετάσεων ΟΕΦΕ

Μέλη σε σύνδεση