Συναρτησιακή από Ινδία

thrassos · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)

harrisp · #2

Θα βάλω σε hide της λύσεις και την λύση μου πολύ σύντομα .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

thrassos · #3

Αυτές βρήκα και εγώ

harrisp · #4

Διάβασα άλλην εκφώνηση και έλυσα άλλη άσκηση, αρκετά δυσκολότερη...

Θα ανεβάσω την άσκηση σε άλλο post.

thrassos · #5

Καλησπέρα Χάρη,
Μπορείς πιο απλά να παρατηρήσεις ότι για x:=a

έχουμε

και άρα αν $f(y)\not\equiv 0$ θα έχουμε a=0

. Και από εκεί και πέρα με την τελευταία αντικατάσταση που έκανες παίρνουμε και την δεύτερη λύση της συναρτησιακής.

#6

thrassos έγραψε:για έχουμε

Πώς ακριβώς βγαίνει αυτό; Πρώτα από όλα μάλλον εννοείς xf(x+a)=0

, αλλά το ερώτημα είναι πώς βγήκε η παράσταση ίση με

thrassos · #7

Καλησπέρα κύριε Λάμπρου,
Καταρχάς να σημειώσω πως υπάρχει τυπογραφικό και αντί για y:=a

έπρεπε να είναι x:=a

.
Τώρα, αν δεν κάνω λάθος προκύπτει ότι af(y+a)=0

αφού

#8

thrassos έγραψε: αφού

Και αυτό από που προκύπτει; Αυτό που βλέπω να προκύπτει είναι το f(a^2)=af(a)

thrassos · #9

Έχουμε υποθέσει ότι f(a)=0

.
Για λόγους όμως διευκόλυνσης της συζήτησης παραθέτω την λύση μου, και με τα χαράς να ακούσω τις παρατηρήσεις που ίσως να προκύψουν.
Αρχικά, x:=0,y:=0 : f(0)=0

.
Στη συνέχεια, για y:=0

θα προκύψει f(x^2)=xf(x)

(1).
Για

παίρνουμε ότι f(y^2+yf(-y))=0

και από την (1) η τελευταία γίνεται f(y^2-f(y^2))=0

(2).
Τώρα ας υποθέσουμε ότι υπάρχει $a\neq 0$ τέτοιο ώστε f(a)=0

.
Όμως για x:=a,y:=0

η αρχική γίνεται f(a^2)=0

.
Για

η αρχική ,τώρα , γίνεται f(a^2)=af(a+y)

ισοδύναμα

.
Από την τελευταία έχουμε a=0

ή

.
Aν, όμως , $f(x)\not\equiv0$ τότε a=0

και άρα από την (1) και την (2) θα πάρουμε την άλλη λύση , $f(x)\equiv x$ .

#10

Παραλλαγή:

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε f(x^2+yf(x))=xf(x+y)

#11

Αυτή μου φάνηκε πιο δύσκολη, εκτός αν χάνω κάτι. Βάζω τα βασικά βήματα τα οποία αφήνω προς απόδειξη για να ασχοληθεί περισσότερο κάποιος με την άσκηση. Αν εντοπιστεί κάποιο λάθος πείτε μου.

Βήμα 1: Δείχνουμε ότι αν x>1

τότε πρέπει f(x)>1

και ότι αν χ<1

τότε

.

Βήμα 2: Έστω x<1

τότε για $y=\frac{x-x^2}{f(x)}$ παίρνουμε $\displaystyle f(x)=xf\left(\frac{xf(x)+x-x^2}{f(x)}\right)$
και από το Βήμα 1 δείχνουμε ότι αν $f(x)\neq x$ έχουμε άτοπο. Επομένως f(x)=x

για κάθε $0<x\leq 1$ .

Βήμα 3: Για x=y

παίρνουμε

. Αν τώρα $x\leq 1$ έχουμε ότι f(2x^2)=xf(2x)

. Αν θέλουμε τώρα $2x^2\leq 1$ δηλαδή $x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$ τότε f(2x)=2x

, δηλαδή

για κάθε $0<s\leq\sqrt{2}$ . Επεκτείναμε δηλαδή το διάστημα που ισχύει η f(x)=x

.
Με επαγωγή και όμοια με παραπάνω δείχνουμε ότι f(s)=s

για κάθε $0<s\leq 2^n\sqrt{2}$ . Αφού ισχύει για κάθε

, έχουμε ότι f(x)=x

για κάθε

.

#12

silouan έγραψε:Αυτή μου φάνηκε πιο δύσκολη, εκτός αν χάνω κάτι. Βάζω τα βασικά βήματα τα οποία αφήνω προς απόδειξη για να ασχοληθεί περισσότερο κάποιος με την άσκηση. Αν εντοπιστεί κάποιο λάθος πείτε μου.

Βήμα 1: Δείχνουμε ότι αν τότε πρέπει και ότι αν τότε .

Βήμα 2: Έστω τότε για $y=\frac{x-x^2}{f(x)}$ παίρνουμε $\displaystyle f(x)=xf\left(\frac{xf(x)+x-x^2}{f(x)}\right)$
και από το Βήμα 1 δείχνουμε ότι αν $f(x)\neq x$ έχουμε άτοπο. Επομένως για κάθε $0<x\leq 1$ .

Βήμα 3: Για παίρνουμε . Αν τώρα $x\leq 1$ έχουμε ότι . Αν θέλουμε τώρα $2x^2\leq 1$ δηλαδή $x\leq\frac{\sqrt{2}}{2}$ τότε , δηλαδή για κάθε $0<s\leq\sqrt{2}$ . Επεκτείναμε δηλαδή το διάστημα που ισχύει η .
Με επαγωγή και όμοια με παραπάνω δείχνουμε ότι για κάθε $0<s\leq 2^n\sqrt{2}$ . Αφού ισχύει για κάθε , έχουμε ότι για κάθε .

Πολύ ωραία Σιλ! Ευχαριστώ για την ενασχόληση!

Δύο σχόλια:
-- Στο Βήμα 1 νομίζω έχουμε: αν x>1

τότε $f(x)\geq 1$ (δεν επηρεάζει βέβαια τη λύση πιο κάτω)

-- Στο Βήμα 3 έχουμε f(x^2+(y-x)f(x))=xf(y)

για κάθε

Αν θεωρήσουμε y>1>x

τότε $\displaystyle{f(xy)=xf(y)}$ και για x=1/(2y)

τελικά

#13

Θανάση, ήταν ωραίο πρόβλημα!

Χάρηκα που είχα κάνει το βήμα 3, αλλά εσύ το κάνεις καλύτερα

Συναρτησιακή από Ινδία

Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Re: Συναρτησιακή από Ινδία

Μέλη σε σύνδεση