Αναλλοίωτο μέτρο

BAGGP93 · #1

Γεια σας. Δυσκολεύομαι σε μια αντικατάσταση για τον υπολογισμό ολοκληρώματος.

Ας είναι $\displaystyle{\maathcal{B}(\mathbb{R})}$ η Borel σ-άλγεβρα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Θεωρούμε το μέτρο $\displaystyle{\mu}$

με $\displaystyle{\mathrm{d}\mu(x):=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$ και τον μετασχηματισμό

$\displaystyle{T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,T(x)=\begin{cases} (x-x^{-1})/2\,\,\,\,\,,x\neq 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 \end{cases}}$

Παίρνω τυχούσα $\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)}$ και θέλω να δείξω ότι

$\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T \mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}}f \mathrm{d}\mu}$

Θέλω να κάνω την αντικατάσταση $\displaystyle{y=T(x)}$ αλλά δυσκολεύομαι στο πώς θα αλλάξει το μέτρο.

Κάποια υπόδειξη ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

BAGGP93 έγραψε:Γεια σας. Δυσκολεύομαι σε μια αντικατάσταση για τον υπολογισμό ολοκληρώματος.

Ας είναι $\displaystyle{\maathcal{B}(\mathbb{R})}$ η Borel σ-άλγεβρα στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Θεωρούμε το μέτρο $\displaystyle{\mu}$

με $\displaystyle{\mathrm{d}\mu(x):=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$ και τον μετασχηματισμό

$\displaystyle{T:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,,T(x)=\begin{cases} (x-x^{-1})/2\,\,\,\,\,,x\neq 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x=0 \end{cases}}$

Παίρνω τυχούσα $\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)}$ και θέλω να δείξω ότι

$\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T \mathrm{d}\mu=\int_{\mathbb{R}}f \mathrm{d}\mu}$

Θέλω να κάνω την αντικατάσταση $\displaystyle{y=T(x)}$ αλλά δυσκολεύομαι στο πώς θα αλλάξει το μέτρο.

Κάποια υπόδειξη ;

1)Αυτό $\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mu)}$ μάλλον είναι

$\displaystyle{f\in L^{1}(\mathbb{R},\mu)}$

2)Το πρόβλημα δεν έχει σχέση με το μέτρο. Είναι μια αλλαγή μεταβλητής σε γενικευμένο.

Παρατήρησε ότι $T(-\infty ,0)=\mathbb{R}\wedge T(0,\infty )=\mathbb{R}$

Σπάσε το ολοκλήρωμα στα αρνητικά και θετικά και κάνε την αλλαγή μεταβλητής.

Πρόσθεσε τα δύο ολοκληρώματα .Κάνε τις πράξεις και λόγω θαύματος θα πάρεις το αποτέλεσμα που γράφεις.

Ισως να υπάρχει μια σταθερά.(Εκανα τις πράξεις γρήγορα mod σταθερές)

BAGGP93 · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση κύριε Στάυρο. Σας χρωστάω και κάτι άλλο, θα το γράψω όταν βρω χρόνο.

Νομίζω ότι δεν υπάρχει θέμα με το $\displaystyle{f\in L^{\infty}}$ γιατί παρατηρούμε ότι το μέτρο είναι μέτρο πιθανότητας.

Εκεί υπάρχει το πρόβλημα, αφού κάνω την αλλαγή μεταβλητής, πώς θα γίνει το $\displaystyle{\mathrm{d}y$ ;

BAGGP93 · #4

Νομίζω το έλυσα.

Έστω $\displaystyle{f\in L^{\infty}(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),\mu)}$ . Είναι,

$\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}f\circ T\mathrm{d}\mu=\int_{-\infty}^{0}f\circ T\mathrm{d}\mu+\int_{0}^{\infty}f\circ T\mathrm{d}\mu$ .

Ας δούμε πρώτα το $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f\circ T\mathrm{d}\mu}$ . Είναι,

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}f\circ \mathrm{d}\mu=\int_{0}^{\infty}\dfrac{f(T(x))}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$ .

Η $\displaystyle{T}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left(0,+\infty\right)}$ με $\displaystyle{T((0,+\infty))=\mathbb{R}$

Εδώ θέτουμε $\displaystyle{y=T(x)=\dfrac{1}{2}\,\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\,,y\in\mathbb{R}}$ . Έχουμε τώρα

$\displaystyle{\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}\,\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1+x^2}{2\,x^2}\,\mathrm{d}x$

όπου

$\displaystyle{y^2=\dfrac{1}{4}\,\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}-2\right)=\dfrac{1}{4}\,x^2+\dfrac{1}{4\,x^2}-\dfrac{1}{2}$ , οπότε

$\displaystyle{1+y^2=\dfrac{1}{4}\,x^2+\dfrac{1}{4\,x^2}+\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{x+x^{-1}}{2}\right)^2=\dfrac{(x^2+1)^2}{(2\,x)^2}$

Έτσι,

$\displaystyle{\dfrac{\mathrm{d}y}{2\,\pi\,(1+y^2)}=\dfrac{1}{2\,\pi}\,\dfrac{1+x^2}{2\,x^2}\,\mathrm{d}x\,\dfrac{4\,x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{1}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x$

Άρα,

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\dfrac{f(T(x))}{\pi\,(1+x^2)}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\int_{\mathbb{R}}\dfrac{f(y)}{\pi\,(1+y^2)}\,\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}\,\int_{\mathbb{R}} f\,\mathrm{d}\mu}$

Όμοια για τα αρνητικά, και με πρόσθεση βγαίνει το ζητούμενο.

Ευχαριστώ κύριε Σταύρο.

Αναλλοίωτο μέτρο

Αναλλοίωτο μέτρο

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

Re: Αναλλοίωτο μέτρο

Μέλη σε σύνδεση