Ανακλώμενη εφαπτομένη

sakis1963 · #1

: FB833=GEOMETRIA184.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \hat{A}=90^o$ γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο

και ακτίνα το ύψος

.

Από (κατάλληλο) σημειο

της υποτείνουσας

φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο

της

επανατέμνει την

στο

.

Δείξτε οτι : $BP\cdot DC= QD \cdot PC$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 05, 2017 10:41 pm
FB833=GEOMETRIA184.png
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \hat{A}=90^o$ γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο και ακτίνα το ύψος .

Από (κατάλληλο) σημειο της υποτείνουσας φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο της επανατέμνει την στο .

Δείξτε οτι : $BP\cdot DC= QD \cdot PC$

Καλησπέρα!

: 295.PNG (51.37 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

$\rm BP\cdot DC=QD\cdot PC\Leftrightarrow \dfrac{PB}{PC}=\dfrac{DQ}{DC}$ .Άρα αν από το $\rm P$ φέρω κάθετη $\rm PT$ στην $\rm AC$ τότε λόγω Θαλή αρκεί να δείξω ότι $\rm TD \parallel AQ$ .
Έστω $\rm F\equiv BC\cap \left ( A,S,Q \right )$ .Είναι $\rm \angle AFQ=\angle BSQ=\angle PSA,\angle FPA=\angle APS$ άρα η $\rm AP$ είναι μεσοκάθετη του $\rm FS$ .
Έστω $\rm PL$ διχοτόμος της $\rm \angle SPB$ .Είναι $\rm \angle SFP=\angle PSF\Leftrightarrow \angle SPB=2\angle SFP\Leftrightarrow SF\parallel PL$ .
Άρα $\rm \angle APL=90^{\circ}$ και $\rm \angle LPB=\angle SFQ=\angle LAQ$ .
Αυτό σημαίνει $\rm 90^{\circ}-\angle LPB=90^{\circ}-\angle BAQ\Leftrightarrow \angle CPA=\angle QAC\Leftrightarrow \angle DTC=\angle QAC\Leftrightarrow TD\parallel AQ$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ανακλώμενη εφαπτομένη

Ανακλώμενη εφαπτομένη

Re: Ανακλώμενη εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση