AΛΛΗ ΜΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να υπολογιστεί το γινόμενο

$(tan 61^\circ-\sqrt{3})(tan 62^\circ-\sqrt{3}) \cdots (\tan 89^\circ-\sqrt{3})$

To θέμα το σκέφτηκα έπειτα από μια αντίστοιχη που δημοσίευσε ο Ορέστης Λιγνός...

Tolaso J Kos · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Να υπολογιστεί το γινόμενο

$(\tan 61^\circ-\sqrt{3})(\tan 62^\circ-\sqrt{3}) \cdots (\tan 89^\circ-\sqrt{3})$

Γεια σου Τηλέμαχε,

Ξεκινάμε με τον τύπο
$\displaystyle{\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin \left ( \alpha + \beta \right )}{\cos \alpha \cos \beta}}$ Παρατηρούμε ότι $\sqrt{3} = \tan 60^\circ$ . Συνεπώς
$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( \tan 61^\circ - \sqrt{3} \right ) \left ( \tan 62^\circ - \sqrt{3} \right ) \cdots \left ( \tan 89^\circ - \sqrt{3} \right )&= \left ( \tan 61^\circ - \tan 60^\circ \right ) \cdots \left ( \tan 89^\circ - \tan 60^\circ \right ) \\ &= \frac{\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdots \sin 29^\circ}{\left ( \cos 60^\circ \right )^{29} \cos 61^\circ \cdots \cos 89^\circ }\\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\cos x = \sin \left ( 90^\circ -x \right )}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \frac{1}{\left ( \cos 60^\circ \right )^{29}} \\ &= 2^{29} \end{aligned}}$ Ελπίζω να μην έχασα τίποτα.. πάντως η βασική ιδέα είναι αυτή. Πάντως έχω ξανά δει παρόμοιο σε κάποιο Mathematical Reflections.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Αυτό που έχεις δει στο Mathematical Reflections είναι το
viewtopic.php?f=111&t=44475&p=208762#p208762
και είναι το θέμα J39 του πρώτου τεύχους του 2007.

AΛΛΗ ΜΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...

AΛΛΗ ΜΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...

Re: AΛΛΗ ΜΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...

Re: AΛΛΗ ΜΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ...

Μέλη σε σύνδεση