Βρείτε τις συναρτήσεις

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x + y) + f(x + z) - f(x)f(y + z) \geq 1, }$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}^+.$

#2

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Επαναφορά!

Γιάννης Μπόρμπας · #4

Με βάση την υπόδειξη:
Αρχικά θα δείξουμε πως η

είναι άνω και κάτω φραγμένη ως εξής:
$P(x,y,z): f(x+y)+f(x+z)\ge 1+f(x)f(y+z)$ ,
$P(2y,y,y): 2f(3y)\ge 1+(f(2y))^2\ge 1$ οπότε $f(x)\ge \frac{1}{2}$ ,
$P(z,z,z): 2f(z)\ge 1+f(z)f(2z)$ οπότε $(2-f(z))f(z)\ge 1$ . οπότε η

είναι άνω φραγμένη.
Έστω

ο ελάχιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: $A\ge f(x)$
και

ο μέγιστος πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι: $f(x)\ge B$ ,
Θα δείξουμε ότι A=B

.
Από την δοθείσα έχουμε τις σχέσεις:
(1): $f(x+y)+f(x+z)\ge B^2+1$
(2): $2A\ge f(x)f(y+z)+1$
Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλες τιμές για τα x,y,z

έτσι ώστε να προσεγγίσουμε τις τιμές 2B, A^2+1

(Επειδή δεν είμαι αρκετά σίγουρος για αυτό το βήμα αν επιτρέπεται ενδεχομένως να είναι λάθος).
Οπότε προκύπτει από την (1) πως B=1

και από την (2) πως A=1

. Οπότε $f(x)=1 \forall x\in\mathbb{R^{+}}$ η λύση που επαληθεύει
την αρχική σχέση.

#5

Ωραία, Γιάννη!

Λίγο πιο αυστηρά μπορούμε να πούμε:
Είναι $\displaystyle{f(x)\geq \frac{B^2+1}{2}}$ οπότε, από τον ορισμό του

είναι $\displaystyle{\frac{B^2+1}{2}\leq B}$ δηλαδή B=1.

Αντίστοιχα για το

Βρείτε τις συναρτήσεις

Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Re: Βρείτε τις συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση