βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Νίκος Παπαγεωργίου · #1

Δίδεται το σημείο της συνάρτησης, που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (και το σημείο τομής της στον άξονα $\psi$ ):

$\left ( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right )$

Βρείτε την τετράγωνη εξίσωση $\psi =\alpha x^{2}+bx-1$

Tolaso J Kos · #2

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Δίδεται το σημείο της συνάρτησης, που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (και το σημείο τομής της στον άξονα $\psi$ ):

$\left ( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right )$

Βρείτε την τετράγωνη εξίσωση $\psi =\alpha x^{2}+bx-1$

Να πω ότι καταλαβαίνω την άσκηση , θα πω ψέμα. Μήπως μπορείτε να τη καλυτερεύσετε ώστε να βγει καλύτερο νόημα γιατί όπως είναι , προσωπικά, δε τη καταλαβαίνω.

Φιλικά,
Τ.

dement · #3

Τόλη, η άσκηση είναι πολύ ωραία. Ζητάει τον τύπο του τριωνύμου αν γνωρίζουμε ότι το εγγύτερο σημείο του γραφήματός του στην τομή των αξόνων είναι το (1/2, -1/4)

.

Tolaso J Kos · #4

dement έγραψε:Τόλη, η άσκηση είναι πολύ ωραία. Ζητάει τον τύπο του τριωνύμου αν γνωρίζουμε ότι το εγγύτερο σημείο του γραφήματός του στην τομή των αξόνων είναι το .

Α, με αυτή την εκφώνηση μάλιστα. ΟΚ, ευχαριστώ. Θα το σκεφτώ.

#5

Νίκος Παπαγεωργίου έγραψε:Δίδεται το σημείο της συνάρτησης, που απέχει την μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων (και το σημείο τομής της στον άξονα $\psi$ ):

$\left ( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right )$

Βρείτε την τετράγωνη εξίσωση $\psi =\alpha x^{2}+bx-1$

...μιά αντιμετώπιση μη καταλαβαίνοντας το ρόλο του σημείου τομής με το

Είναι το $M\left( \frac{1}{2},-\frac{1}{4} \right)$ σημείο της $\psi =\alpha x^{2}+bx-1$ άρα ισχύει ότι

$-\frac{1}{4}=\alpha \frac{1}{4}+b\frac{1}{2}-1\Leftrightarrow -1=a+2b-4\Leftrightarrow a+2b=3$ (1)

Η απόσταση τυχαίου σημείου από την αρχή των αξόνων είναι $d(x)=\sqrt{{{f}^{2}}(x)+{{x}^{2}}}$ με $f(x)=\alpha {{x}^{2}}+bx-1,\,\,x\in R$

και επειδή είναι παραγωγίσιμη με ${d}'(x)=\frac{2f(x){f}'(x)+2x}{2d(x)}=\frac{f(x){f}'(x)+x}{d(x)}$ και για $x=\frac{1}{2}$

σύμφωνα με την υπόθεση παίρνει την ελάχιστη τιμή της λόγω Fermat θα ισχύει ότι

${d}'(\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow f(\frac{1}{2}){f}'(\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=0$ και αφού

${f}'(x)=2\alpha x+b,\,\,x\in R$ είναι ${f}'(\frac{1}{2})=\alpha +b$

και επειδή $f(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ θα ισχύει ότι $\left( -\frac{1}{4} \right)\left( \alpha +b \right)+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a+b=2$

και από το σύστημα προκύπτει b=1

και

δηλαδή $f(x)={{x}^{2}}+x-1,\,\,x\in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Νίκος Παπαγεωργίου · #6

Βασίλη, αν δεν έδινα το σημείο τομής (0, -1), τότε το τριώνυμο θα είχε τρεις αγνώστους.

Το σημείο με ελάχιστο τοπικό διάνυσμα μας δίνει δύο πληροφορίες και έτσι μπορούμε να βρούμε τους δύο αγνώστους.

Δεν ξέρω αν το είπε κάποιος άλλος (δεν είμαι μαθηματικός), αλλά η γεωμετρική ερμηνεία αυτού του σημείου είναι ότι: μεταξύ της πολικής γωνίας $\varphi$ και της γωνίας κλίσης $\theta$ ισχύει:

$\tan \varphi =-\frac{1}{tan\theta }$

Βέβαια μπορεί να μην είναι το μόνο σημείο που προκύπτει από τη λύση αυτή, οπότε επιλέγουμε το μικρότερο, ως μέτρο του ελάχιστου διανύσματος.

βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Re: βρείτε την τετράγωνη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση