Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Grosrouvre · #1

Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a}$ , $\vec{b}$ με $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\eta \in \left[ 1, 3 \right]$ τέτοιος, ώστε $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Grosrouvre έγραψε:Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a}$ , $\vec{b}$ με $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\eta \in \left[ 1, 3 \right]$ τέτοιος, ώστε $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ .

Δεν καταλαβαίνω.Γιατί να μην τον βρούμε κιόλας.
Νομίζω ότι είναι πανεύκολο το πρόβλημα εύρεσης των $\eta$ και απλά μετά πρέπει να αποδείξουμε ότι
βρίσκεται στο συγκεκριμένο διάστημα.
Το αφήνω να το κάνει κάποιος μαθητής.

Ratio · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Grosrouvre έγραψε:Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a}$ , $\vec{b}$ με $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\eta \in \left[ 1, 3 \right]$ τέτοιος, ώστε $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ .
Δεν καταλαβαίνω.Γιατί να μην τον βρούμε κιόλας.
Νομίζω ότι είναι πανεύκολο το πρόβλημα εύρεσης των $\eta$ και απλά μετά πρέπει να αποδείξουμε ότι
βρίσκεται στο συγκεκριμένο διάστημα.
Το αφήνω να το κάνει κάποιος μαθητής.

Και να αποδείξει μάλιστα με δύο τρόπους γιατί είναι μοναδικός αυτός ο αριθμός

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Grosrouvre έγραψε:Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a}$ , $\vec{b}$ με $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\eta \in \left[ 1, 3 \right]$ τέτοιος, ώστε $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο την $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ και χρησιμοποιώντας την

$\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$

παίρνουμε (βάζω όπου $\eta$ το

)

$t^{2}+2t\vec{a}.\vec{b}-3=0$

Λύνοντας το τριώνυμο έχουμε

$t=-\vec{a}.\vec{b}+\sqrt{(\vec{a}.\vec{b})^{2}+3}$

η $t=-\vec{a}.\vec{b}-\sqrt{(\vec{a}.\vec{b})^{2}+3}$

Η δεύτερη είναι αρνητική ενώ εύκολα βλέπουμε ότι η πρώτη βρίσκεται στο [1,3]

.

Χρησιμοποιούμαι ότι $\left | \vec{a}.\vec{b} \right |\leq 1$

#5

Υπάρχει και λύση χωρίς καθόλου πράξεις.

Grosrouvre · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ...
Υψώνοντας στο τετράγωνο την $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ και χρησιμοποιώντας την

$\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$

παίρνουμε (βάζω όπου $\eta$ το )

$t^{2}+2t\vec{a}.\vec{b}-3=0$
...

Άλλη μία λύση, για να δικαιολογήσω τον τίτλο και το φάκελο:

Για την $f(x) = x^2 +2x \cos\theta -3$ ισχύει ότι

$f(1) = 2 \left( \cos \theta - 1 \right) \leq 0$ και $f(3) = 6 \left( 1+ \cos \theta \right) \geq 0$ ...

#7

Demetres έγραψε:Υπάρχει και λύση χωρίς καθόλου πράξεις.

Ας βάλω και αυτό που είχα υπόψη.

Έστω

η αρχή των αξόνων και A,B

τέτοια ώστε τα $\mathbf{a}$ και $\mathbf{b}$ είναι τα διανύσματα θέσεώς τους αντίστοιχα. Επειδή (AO)=1

, μπορούμε να βρούμε (μοναδικό) σημείο

στην ευθεία που περνάει από τα Ο,Β

, από την πλευρά του

ώστε

. Από την τριγωνική ανισότητα στο (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο AOC

έχουμε $1 \leqslant (OC) \leqslant 3$ . Θέτουμε τώρα $\eta = (OC)$ και παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OA} = \eta \mathbf{b} + \mathbf{a}}$

οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Έγραψα αρκετά λόγια αν και μόνο ένα σχήμα θα αρκούσε.

#8

Grosrouvre έγραψε:Δίνονται τα διανύσματα $\vec{a}$ , $\vec{b}$ με $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\eta \in \left[ 1, 3 \right]$ τέτοιος, ώστε $\left| \vec{a} + \eta \vec{b} \right| = 2$ .

Ίσως και το εξής απαντά στο

Demetres έγραψε:Υπάρχει και λύση χωρίς καθόλου πράξεις.

Θέτουμε $f(x) = \left| \vec{a} + x \vec{b} \right|$ για $x\in \mathbb R$ . Εύκολα βλέπυμε ότι η

είναι συνεχής με $f(1)= \left| \vec{a} + \vec{b} \right|\le \left| \vec{a} \right|+ \left| \vec{b} \right|=2$ και $f(3)= \left| \vec{a} + 3\vec{b} \right|\ge 3 \left| \vec{b} \right|- \left| \vec{a} \right|=2$ .

Από Bolzano έχουμε το ζητούμενο.

Σχολιάζω ότι το παραπάνω είναι ουσιαστικά επαναδιατύπωση της γεωμετρικής λύσης του Δημήτρη, αλλά "κρυμμένη".

Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Re: Υπαρξιακό από Β' Προσανατολισμού

Μέλη σε σύνδεση