Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας .

: 18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG (5.36 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

Στο τρίγωνο BAD

είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Έστω

το συμμετρικό του

ως προς την

.

Αν είναι AB=3

και $CD=\sqrt{18}$ τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του από την .

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Γιώργο!

Φέρνουμε $BK \perp CE \, (K \in CE)$ .

Προφανώς, $BC=AB=3, AD=DC=\sqrt{18}$ (λόγω συμμετρίας).

Έστω CE=x. DE=y

.

Τότε, $BK=AE=\sqrt{18}-y$ .

Επίσης, CK=CE-KE=x-AB=x-3

.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, με Π.Θ. στα $\vartriangle DCE, \vartriangle CBK$ παίρνουμε τις παρακάτω σχέσεις.

$x^2+y^2=18 \, \, (1) \, (\sqrt{18}-y)^2+(x-3)^2=9 \, \, (2)$ .

Η (2) μετά τις πράξεις γράφεται $x^2+y^2+18=6y\sqrt{2}+6x \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 6y\sqrt{2}+6x=36 \Rightarrow y\sqrt{2}+x=6$ (3).

Από (1), (3), $18=x^2+y^2=(6-y\sqrt{2})^2+y^2=3y^2-12y\sqrt{2}+36 \Rightarrow y^2-4y\sqrt{2}+6=0$

$\Rightarrow y=3\sqrt{2}$ ή $y=\sqrt{2}$ .

Αν $y=3\sqrt{2}$ , από την (1) προκύπτει x=0

, άτοπο.

Άρα, $y=\sqrt{2}$ , και $\boxed{x=4}$ .

Ιστοσελίδα · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .

Στο τρίγωνο είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Έστω το συμμετρικό του ως προς την .

Αν είναι και $CD=\sqrt{18}$ τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του από την .

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος

Καλησπέρα!

: Απόσταση-σκαλοπάτι.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

Το

είναι ρόμβος και εύκολα $BO = OK = KD = \dfrac{{BD}}{3}$

Έτσι, $KE = \dfrac{{AB}}{3} = 1$ και CE = 3 + 1 = 4

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG
Στο τρίγωνο είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Έστω το συμμετρικό του ως προς την .

Αν είναι και $CD=\sqrt{18}$ τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του από την .

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος

Καλησπέρα!

: Σκαλοπάτι.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

$\displaystyle{tan\theta = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = 2\sqrt 2 }$ και $\displaystyle{x = 3\sqrt 2 sin2\theta = \frac{{3\sqrt 2 \tan 2\theta }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}2\theta } }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=4}$

#5

Φέρνω κάθετη στη

στο

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Επειδή $C{A^2} = AB \cdot AP \Rightarrow 18 = 3AP \Rightarrow \boxed{AP = 6}$ . Αν τώρα η ευθεία

κόψει τις

$CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H$ αντίστοιχα θα είναι :

1. Τα Z,H

αρμονικά συζυγή των D,E

και

2. 2ZE = EH

( αφού

).

3. Το τετράπλευρο APHD

είναι παραλληλόγραμμο

: Απόσταση σκαλοπάτι_new_new.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

Έτσι αν $\boxed{ZE = x}$ θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} EH = 2x \hfill \\ DZ = 3x \hfill \\ DH = AP = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ EH = 2 \hfill \\ DZ = 3 \hfill \\ DE = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Τα σκαλοπάτια του Γιώργου ;

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλησπέρα σε όλους !
Ευχαριστώ κατ' αρχήν τον Ορέστη που ήταν το favori για την πρώτη απάντηση ! ..
και ασφαλώς τους Μιχάλη , Γιώργο και Νίκο.
Κάλλιστα θα μπορούσε Νίκο το DE=4

να ήταν τέταρτο σκαλοπάτι , όπως στο σχήμα σου ! ..
αλλά εννοώ κάτι άλλο που θα φανεί σε επόμενη ανάρτησή μου..

Δίνω στη συνέχεια , μια λύση που είχα πριν την ανάρτηση :

: Θέμα ..σκαλοπάτι.PNG (6.57 KiB) Προβλήθηκε 889 φορές

Το

είναι χαρταετός. Έχουμε $\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=2$

και $\left ( ABCD \right )=AB\cdot AD=9\sqrt{2}$ άρα $\left ( DAC\right )=2\left ( ABCD \right )/3=6\sqrt{2}$ .

Τότε $AD\cdot CE =2\left ( DAC \right )=12\sqrt{2}\Rightarrow CE =\dfrac{12\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=4$ .

Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG
Στο τρίγωνο είναι $\widehat{A}=90^{0}$ . Έστω το συμμετρικό του ως προς την .

Αν είναι και $CD=\sqrt{18}$ τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του από την .

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος

Με Π.Θ είναι $\displaystyle{DB = 3\sqrt 3 {\text{ }},{\text{ }}[\left( {ABCD} \right) = 2\left( {ABD} \right) = 9\sqrt 2 \Rightarrow \frac{{3\sqrt 3 \cdot AC}}{2} = 9\sqrt 2 \Rightarrow \boxed{AC = 2\sqrt 6 }}$

$\displaystyle{AI \cdot AC = AE \cdot AD \Rightarrow 2\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 = \sqrt {18} \cdot AE \Rightarrow \boxed{AE = 2\sqrt 2 }}$

Με Π.Θ στο $\displaystyle{\vartriangle CEA \Rightarrow \boxed{CE = 4}}$

Αλλιώς

$\displaystyle{\left( {DCA} \right) = \frac{{CD \cdot DA \cdot CA}}{{4R}} = \frac{{18 \cdot 2\sqrt 6 }}{{4 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow \frac{{CE \cdot \sqrt {18} }}{2} = 6 \cdot \sqrt 2 \Rightarrow \boxed{CE = 4}}$

: A.S.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Μέλη σε σύνδεση