Μισολογισμός

#1

Με αφορμή αυτήν

: Μισόλογα...png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Με κέντρο ένα σημείο

του κύκλου (K, R)

γράφω τον κύκλο (O, r), r<R

και έστω

ένα από τα κοινά σημεία

των δύο κύκλων. Το τμήμα

επανατέμνει τον κύκλο (O)

στο

και ο κύκλος $\displaystyle{\left( {P,\frac{{5r}}{2}} \right)}$ τον κύκλο (K, R)

στα

Αν τα σημεία S, K, T

είναι συνευθειακά, να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{r}{R}.$

#2

george visvikis έγραψε:Με αφορμή αυτήν

Μισόλογα...png
Με κέντρο ένα σημείο του κύκλου γράφω τον κύκλο και έστω ένα από τα κοινά σημεία

των δύο κύκλων. Το τμήμα επανατέμνει τον κύκλο στο και ο κύκλος $\displaystyle{\left( {P,\frac{{5r}}{2}} \right)}$ τον κύκλο στα

Αν τα σημεία είναι συνευθειακά, να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{r}{R}.$

Ας είναι $\boxed{AP = x \Rightarrow KP = R - x}$ . Επειδή $\widehat {AKT} = 90^\circ$

( η διάκεντρος είναι μεσοκάθετος στην κοινή χορδή) θα είναι ισοσκελή ορθογώνια τα

τρίγωνα : $AST,\,\,KAS\,\,,\,\,KAT$ . Ενώ $\boxed{AT = u\sqrt 2 \,\,,\,\,u = \frac{{5r}}{2}}$ . Από το Θ. συνημίτονου στο

$\vartriangle APT$ θα έχω : $P{T^2} = A{P^2} + A{T^2} - 2 \cdot AP \cdot AT \cdot \cos 45^\circ$ δηλαδή :

${u^2} = {x^2} + 2{R^2} - 2xR\sqrt 2 \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ . Οπότε : $25{r^2} = 4{x^2} - 8Rx + 8{R^2}\,\,(1)$ .

: Μισοσλογισμός.png (43.09 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές

Αλλά από τη δύναμη του

ως προς τον (O,r)

έχω ,

$R(R - x) = {R^2} - {r^2} \Leftrightarrow Rx = {r^2}\,\,(2)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ και αν θέσω r = kR

έχω

την εξίσωση : $\boxed{4{k^4} - 33{k^2} + 8 = 0}$ απ’ όπου $\boxed{k = \frac{1}{2}}$ .

Η άλλη δεκτή ως προς το πρόσημο ρίζα $k = 2\sqrt 2$ απορρίπτεται αφού r < R

.

#3

: Μισολογισμός.png (23.19 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

$\displaystyle{KP \cdot KA = (R - r)(R + r) \Leftrightarrow }$ $\boxed{KP = \frac{{{R^2} - {r^2}}}{R}}$ (1)

$\displaystyle{K{P^2} = P{S^2} - S{K^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{{R^4} - 2{R^2}{r^2} + {r^4}}}{{{R^2}}} = \frac{{25{r^2}}}{4} - {R^2} \Leftrightarrow 4{r^4} - 33{R^2}r^2 + 8{R^4} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{r < R} }$ $\boxed{\frac{r}{R}=\frac{1}{2}}$

Μισολογισμός

Μισολογισμός

Re: Μισολογισμός

Re: Μισολογισμός

Μέλη σε σύνδεση