Ικανοποιητική προσέγγιση του απείρου

KARKAR · #1

Μια - πέραν πάσης αμφιβολίας - ικανοποιητική προσέγγιση του αριθμού 0,5

, είναι

ο αριθμός : a=0,49999999999

. Ασφαλώς το $\displaystyle \int_{0}^{0,5\pi}tanxdx$ , είναι $+\infty$ .

Συνεπώς το $\displaystyle \int_{0}^{0,49999999999\pi}tanxdx$ , είναι μια ικανοποιητική προσέγγιση του $+\infty$ .

Δεν με πιστεύετε , ε ? Βάλτε μερικά 9-άρια ακόμα . Βρε μπας και συγκλίνει ?

#2

KARKAR έγραψε:Μια - πέραν πάσης αμφιβολίας - ικανοποιητική προσέγγιση του αριθμού , είναι

ο αριθμός : . Ασφαλώς το $\displaystyle \int_{0}^{0,5\pi}tanxdx$ , είναι $+\infty$ .

Συνεπώς το $\displaystyle \int_{0}^{0,49999999999\pi}tanxdx$ , είναι μια ικανοποιητική προσέγγιση του $+\infty$ .

Δεν με πιστεύετε , ε ? Βάλτε μερικά 9-άρια ακόμα . Βρε μπας και συγκλίνει ?

Γράφουμε $0,49999999999\pi = \frac {\pi}{2}-a$ (ή στην θέση του

μια ακόμα καλύτερη προσέγγιση του 0,5

) το ολοκλήρωμα ισούται $\left [- \ln \cos x \right ]_0^{\frac {\pi}{2}-a}= -\ln \sin a \approx - \ln a$ . To τελευταίο είναι βέβαια μεγάλος θετικός για μικρό θετικό

.

Αυτό απαντά στο πρόβλημα. Ουσιαστικά πρόκειται για επαλήθευση του γεγονότος ότι το εν λόγω ολοκλήρωμα είναι καταχρηστικό, και άρα η τιμή του είναι εξ ορισμού το όριο στο $\pi /2$ (εδώ, συν άπειρο).

Σχόλιο εκτός σχολικής ύλης: Παίρνοντας την σειρά Taylor, μία καλύτερη προσέγγιση στο $-\ln \sin a \approx - \ln a$ είναι η $-\ln \sin a = - \ln a +\frac {a^2}{3!}+ O(a^4)$

#3

Οπότε αν $a = 10^{-n}\pi$ , τότε το ολοκλήρωμα ισούται περίπου με $-\ln(\pi) + n\ln{10}$ . Δηλαδή για κάθε επιπλέον εννιάρι, το ολοκλήρωμα αυξάνεται περίπου κατά $\ln{10} \approx 2.3$ .

Ικανοποιητική προσέγγιση του απείρου

Ικανοποιητική προσέγγιση του απείρου

Re: Ικανοποιητική προσέγγιση του απείρου

Re: Ικανοποιητική προσέγγιση του απείρου

Μέλη σε σύνδεση