Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to(0,\infty)$ συνεχής καὶ $\varphi,\psi :\mathbb R\to\mathbb R$ λύσεις τῆς ἐξισώσεως
Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R$ , ὥστε $\varphi(t)=\psi(t-\tau)$ , διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to(0,\infty)$ συνεχής καὶ $\varphi,\psi :\mathbb R\to\mathbb R$ λύσεις τῆς ἐξισώσεως
Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R$ , ὥστε $\varphi(t)=\psi(t-\tau)$ , διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

Αλλάζω τους συμβολισμούς για τις λύσεις.

Εστω a(t),b(t)

οι λύσεις.

1 περίπτωση. Υπάρχουν $t_{1},t_{2}$ με $a(t_{1})=b(t_{2})$

Θέτουμε $\tau =t_{1}-t_{2},z(t)=b(t-\tau )$

Είναι $z(t_{1})=a(t_{1})$

Από μονοσήμαντο λύσεων έχουμε ότι $a(t)=z(t),t\in \mathbb{R}$ και απεδείχθει.

2 περίπτωση.

Είναι $a(t)< b(s),t,s\in \mathbb{R}$

Τότε επειδή η a(t)

είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη άνω θα έχουμε.

$\lim_{t\rightarrow \infty }a(t)=c\in \mathbb{R}\wedge\lim_{t\rightarrow \infty }a'(t)=0$

Αντικαθιστώντας στην διαφορική και παίρνοντας $t\rightarrow \infty$ έχουμε f(c)=0

πράγμα ΑΤΟΠΟ.

Αφού 2 περίπτωση δεν υπάρχει απεδείχθει.

#3

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R\to(0,\infty)$ συνεχής καὶ $\varphi,\psi :\mathbb R\to\mathbb R$ λύσεις τῆς ἐξισώσεως
Δείξατε ὅτι ὑπάρχει $\tau\in\mathbb R$ , ὥστε $\varphi(t)=\psi(t-\tau)$ , διὰ κάθε $t\in\mathbb R$ .

Αλλιώς:

Γράφω την εξίσωση ως y'=f(y)

για λόγους συνήθειας.

Έστω

αρχική της $\frac {1}{f(y)}$ με, βέβαια, $F'(y)=\frac {1}{f(y)} >0$ που σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα (αντιστρέφεται). Από την διαφορική έχουμε $F(y)=\int \frac {dy}{f(y)} = x+c$ , ή αλλιώς $y = F^{-1}(x+c)$ .

Aν $\varphi,\psi$ λύσεις, είναι τότε για κατάλληλες σταθερές c_1, c_2

έχουμε

$\varphi (x) = F^{-1}(x+c_1), \, \psi (x) = F^{-1}(x+c_2)$ οπότε

$\varphi (x) = F^{-1}(x+c_1)= F^{-1}(x+c_1-c_2+c_2)=\psi (x+c_1-c_2)$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἕνα σημεῖο ποὺ εἶναι σημαντικὸ νὰ τονισθεῖ εἶναι ὅτι τὰ προβλήματα ἀρχικῶν τιμῶν τῆς μορφῆς
$\displaystyle{ x'=f(x), \quad x(\tau)=\xi, }$
δὲν ἀπολαμβάνουν ἐν γένει μοναδικότητος. Π.χ., τὸ $x'=|x|^{1/2}$ , x(0)=0

ἔχει ἄπειρες τὸ πλῆθος λύσεις.

ΟΜΩΣ, ἂν $f(x)\ne 0$ , διὰ κάθε

, τότε ἀπολαμβάνουν μοναδικότητος, ὅπως προκύπτει ἀπό τὴν 2η ἀνάρτηση του Μιχάλη Λάμπρου.

Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Re: Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Re: Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Re: Οἱ λύσεις αὐτόνομης ἐξισώσεως προκύπτουν ἀπὸ μετατοπίσεις

Μέλη σε σύνδεση