- Γωνία διαγωνίου με πλευρά.png (9.6 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές
Γωνία διαγωνίου με πλευρά
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά
Θα χρησιμοποιηθεί το εξής:
Λήμμα
Έστω τρίγωνο και σημείο ώστε και . Τότε ισχύει . Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει, και υπάρχει άλλο σημείο στην ώστε . Τότε τα σημεία , και βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το . Άρα (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), επομένως . Όμως έχουμε ότι , άρα και το ζητούμενο ισχύει.
Για το αρχικό πρόβλημα λοιπόν, σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο , με το σημείο να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο σε σχέση με την .
θα αποδείξουμε αρχικά ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Ισχύει ότι (1)
Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ότι και επομένως (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έχουμε λοιπόν ότι .
Εφαρμόζουμε το λήμμα στο τρίγωνο , όπου ισχύει ότι και
Άρα και επειδή , προκύπτει ότι τα σημεία , και βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το . Άρα (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), άρα
Λήμμα
Έστω τρίγωνο και σημείο ώστε και . Τότε ισχύει . Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει, και υπάρχει άλλο σημείο στην ώστε . Τότε τα σημεία , και βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το . Άρα (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), επομένως . Όμως έχουμε ότι , άρα και το ζητούμενο ισχύει.
Για το αρχικό πρόβλημα λοιπόν, σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο , με το σημείο να βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το σημείο σε σχέση με την .
θα αποδείξουμε αρχικά ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά.
Ισχύει ότι (1)
Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ότι και επομένως (2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έχουμε λοιπόν ότι .
Εφαρμόζουμε το λήμμα στο τρίγωνο , όπου ισχύει ότι και
Άρα και επειδή , προκύπτει ότι τα σημεία , και βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο το . Άρα (επίκεντρη και αντίστοιχη εγγεγραμμένη), άρα
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά
Καλημέρα. Μια προσπάθεια... Φέρω τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο κύκλο καθώς και τις ακτίνες του κύκλου , .Doloros έγραψε:Γωνία διαγωνίου με πλευρά.png
Να βρεθεί η γωνία
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο (ισοσκελές και η επίκεντρη γωνία , αφού η αντίστοιχή της εγγεγραμμένη,
η οποία βαίνει στο ίδιο με αυτήν τόξο είναι ) .
Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία , είναι η μεσοκάθετος της χορδής .
Το παραπάνω ισχύει διότι τα σημεία και ισαπέχουν από τα άκρα του .
Δηλαδή το είναι το απόστημα της χορδής .
Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: .
Άρα , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Στη συνέχεια συγκρίνουμε τα τρίγωνα και . Έχουμε :
: κοινή
ως πλευρές ισοπλεύρου τριγώνου
επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Άρα από κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Συνεπώς .
Συνεπώς η γωνία , στο παραπάνω σχήμα, είναι .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Γωνία διαγωνίου με πλευρά
Καλησπέρα! Με , το συμμετρικό του ως προς , έχουμε:Doloros έγραψε:
Να βρεθεί η γωνία
Το ισοσκελές , το ισόπλευρο , το ισοσκελές και το ισοσκελές
Έτσι,
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες