Αριθμητικός μέσος

#1

: Αριθμητικός μέσος.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Από το μέσο

της πλευράς

τριγώνου

φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας $\widehat C$

που τέμνει την

στο

Να δείξετε ότι $EC=\dfrac{a+b}{2}.$

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα.

Έστω

η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\widehat{C}$ .

Έστω επίσης

ένα σημείο στην προέκταση της

(προς το

).

Προεκτείνουμε την

(προς το

) κατά τμήμα AE=EK

.

Τότε, στο τρίγωνο $\vartriangle BKA$ , η

ενώνει μέσα πλευρών, οπότε $BK \parallel ME \parallel Cx \Rightarrow BK \parallel Cx$ .

Έτσι, $\widehat{BKC}=\widehat{KCx}=\widehat{xCM}=\widehat{KBC} \Rightarrow \widehat{BKC}=\widehat{KBC}$

$\Rightarrow KC=BC=a \Rightarrow a=KC=KA+AC=2EA+b \Rightarrow AE=\dfrac{a-b}{2}$ .

Τελικά, $EC=EA+AC=\dfrac{a-b}{2}+b=\dfrac{a+b}{2}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #3

Γιώργο και Ορέστη καλησπέρα !

: 9-7-17 Αριθμητικός μέσος.PNG (9.05 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Η διχοτόμος

της $B\widehat{C}A$ είναι $CN\perp EMH$ άρα EC=CH=a-BH ..(1)

.

Ακόμη $AT\parallel BC$ οπότε τα τρίγωνα MAT, BHM

είναι ίσα , ενώ ίσες είναι και οι γωνίες $\omega$

έτσι προκύπτει AE=AT=BH

και τότε

.

Με πρόσθεση των (1) ,(2)

παίρνουμε $2EC=a+b \Leftrightarrow EC=\dfrac{a+b}{2}$ .

Φιλικά Γιώργος.

#4

: Αριθμητικός μέσος _Βισβίκης_1.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Φέρνω την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας $\widehat C$ που τέμνει τη

στο

. Η ευθεία

τέμνει τη

στο

. Προφανώς αφού $CK \bot EN$ το τρίγωνο CEN

είναι

ισοσκελές. Αν φέρω από το

παράλληλη στην

μέχρι να κόψει τη

στο

θα είναι και το $\vartriangle CAS$ ισοσκελές ενώ το ASNE

θα είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Στο $\vartriangle BSA$ αφού MN//AS

το δε

μέσο του

θα είναι και το

μέσο του

.

Αν λοιπόν AE = x

θα είναι $\boxed{BN = NS = EA = x}$ .

Είναι $x = NS = \dfrac{{BS}}{2} = \dfrac{{BC - SC}}{2} = \dfrac{{a - b}}{2} \Rightarrow \boxed{EC = x + b = \dfrac{{a + b}}{2}}$ .

#5

Ορέστη, Γιώργο, Νίκο, σας ευχαριστώ για τις λύσεις. Η δική μου είναι ίδια με του Γιώργου.

STOPJOHN · #6

george visvikis έγραψε:Αριθμητικός μέσος.png
Από το μέσο της πλευράς τριγώνου φέρνουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της εξωτερικής γωνίας $\widehat C$

που τέμνει την στο Να δείξετε ότι $EC=\dfrac{a+b}{2}.$

Καλημέρα
Στην προέκταση της

προς το

λαμβάνουμε CG=AC=b

και έστω

το σημείο τομης των BC,ME

Συνεπως ,

,γιατί $\hat{NEC}=\hat{ACT}=\hat{TCG}=\hat{ENC}$
και MTCN

είναι παραλληλόγραμμο άρα $MT=\dfrac{BG}{2}=\dfrac{a+b}{2},NC//MT,NC=MT=EC$

Γιάννης

Αριθμητικός μέσος

Αριθμητικός μέσος

Re: Αριθμητικός μέσος

Re: Αριθμητικός μέσος

Re: Αριθμητικός μέσος

Re: Αριθμητικός μέσος

Re: Αριθμητικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση