Συλλέκτης πολύτιμων λίθων

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Για να ξεσπάσετε το θυμό σας, όταν δεν καταφέρνετε να λύσετε μια άσκηση, καταφεύγετε στο αγαπημένο σας shoot ‘em up βιντεοπαιχνίδι, όπου ξεσπάτε σκοτώνοντας τέρατα, κερδίζοντας πολύτιμους λίθους. Κάθε φορά που σκοτώνετε ένα τέρας, κερδίζετε έναν πολύτιμο λίθο, από τρία είδη λίθων: είτε έναν κοινό, είτε έναν ασυνήθιστο, είτε ένα σπάνιο. Οι πιθανότητες είναι σε αναλογία 3:2:1

, δηλαδή τρεις κοινοί για κάθε δύο ασυνήθιστους για κάθε ένα σπάνιο πολύτιμο λίθο, κατά μέσο όρο. Επειδή όμως η άλυτη άσκηση δε φεύγει από το μυαλό σας, έχετε αποφασίσει τα διαλείμματα για εκτόνωση να είναι μικρά. Έτσι κάθε φορά παίζετε μέχρι να συλλέξετε τουλάχιστον έναν πολύτιμο λίθο από κάθε είδος και τότε διακόπτετε το παιχνίδι. Με πόσους κοινούς πολύτιμους λίθους καταλήγετε, κατά μέσο όρο;

Η διατύπωση του προβλήματος δεν είναι δικιά μου.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Επαναφορά.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Μια λύση.

Έστω p_1,p_2,p_3

οι πιθανότητες να κερδίσουμε κοινό, ασυνήθιστο και σπάνιο λίθο αντίστοιχα. Από τα δεδομένα

του προβλήματος έχουμε:
$\frac{p_1}{3}=\frac{p_2}{2}=\frac{p_3}{1},p_1+p_2+p_3=1\Rightarrow p_1=\frac{1}{2},p_2=\frac{1}{3},p_3=\frac{1}{6}.$
Ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. Y_i,i=1,2,3,...

όπου

αν κερδίσουμε κοινό λίθο, με πιθ. p_1,

αν κερδίσουμε ασυνήθιστο λίθο, με πιθ. p_2,

αν κερδίσουμε σπάνιο λίθο, με πιθ. p_3.

Επίσης, ορίζουμε την ακολουθία τ.μ. X_i,i=1,2,3,...

η οποία καταμετρά το πλήθος των διαφορετικών λίθων που έχουμε στη διάθεσή μας μέχρι τη δοκιμή

. Προφανώς, X_1=1.

Θα βρούμε πρώτα τον αναμενόμενο αριθμό δοκιμών μέχρι να σταματήσουμε. Έπειτα θα πολλαπλασιάσουμε αυτόν με την p_1

και το αποτέλεσμα θα είναι ο ζητούμενος Μ.Ο. . Για το σκοπό αυτό ορίζουμε (τρίτη και τελευταία) την τ.μ.

T=min(n:X_n=3).

H

είναι ο αριθμός δοκιμών που χρειάζεται μέχρι να σταματήσουμε. Έχουμε λοιπόν ότι για t=0,1:P(T>t)=1

και για $t\geq 2$

P(T>t)=P(min(n:X_n=3)>t)=P(X_t<3)

$=P(\forall i=1,2,...,t:Y_i\in \left \{ 1 ,\right0 \}\cup Y_i\in \left \{ 1 ,\right-1 \}\cup Y_i\in \left \{ 0 ,\right-1 \})$

$=P(\forall i=1,2,...,t:Y_i\in \left \{ 1 ,\right0 \})+P(\forall i=1,2,...,t:Y_i\in \left \{ 1 ,\right-1 \})+P(\forall i=1,2,...,t:Y_i\in \left \{ 0 ,\right-1 \})$

$-P(\forall i=1,2,...,t:Y_i=1)-P(\forall i=1,2,...,t:Y_i=0)-P(\forall i=1,2,...,t:Y_i=-1)$

$=\sum_{i=0}^{t}\binom{t}{i}p_{1}^{i}p_{2}^{t-i}+ \sum_{i=0}^{t}\binom{t}{i}p_{1}^{i}p_{3}^{t-i}+ \sum_{i=0}^{t}\binom{t}{i}p_{2}^{i}p_{3}^{t-i}-p_{1}^{t}-p_{2}^{t}-p_{3}^{t}$

$=(p_1+p_2)^t+(p_1+p_3)^t+(p_2+p_3)^t-p_{1}^{t}-p_{2}^{t}-p_{3}^{t}$ .

Επομένως

$E(T)=\sum_{t=0}^{\infty }P(T>t)=P(T>0)+P(T>1)+\sum_{t=2}^{\infty }P(T>t)$

$=1+1+\sum_{t=2}^{\infty }\left ( (p_1+p_2)^t+(p_1+p_3)^t+(p_2+p_3)^t-p_{1}^{t}-p_{2}^{t}-p_{3}^{t} \right )$

$=2+\sum_{t=2}^{\infty }\left ( (\frac{5}{6})^t+(\frac{2}{3})^t+(\frac{1}{2})^t-(\frac{1}{2})^{t}-(\frac{1}{3})^{t}-(\frac{1}{6})^{t} \right )$

=7.3

Άρα ο ζητούμενος μέσος όρος είναι p_1E(T)=3.65

Συλλέκτης πολύτιμων λίθων

Συλλέκτης πολύτιμων λίθων

Re: Συλλέκτης πολύτιμων λίθων

Re: Συλλέκτης πολύτιμων λίθων

Μέλη σε σύνδεση