Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)

[Panagiotis11]

1) Στο ,το σημείο βρίσκεται πάνω στη πλευρά ώστε κάθετη στη .Θεωρούμε το έκκεντρο του , το έκκεντρο του , το έκκεντρο του και το έκκεντρο του .Να βρείτε όλες τις τιμές της στις οποίες είναι παραλληλόγραμμο και να αποδείξετε ότι δεν ισχύει καμία άλλη τιμή.

2) Θεωρούμε σκαληνό. το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το και κύκλο με κέντρο εφαπτόμενο στις και ο οποίος τέμνει την στο και την στο . Οι ευθείες και τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία αντίστοιχα.Θεωρούμε μέσω . είναι το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των και και η προβολή του ορθόκεντρου του στην ευθεία.Να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.

3) Δίνεται οξυγώνιο,σκαληνό με περιγεγραμμένο κύκλο και DEF τρίγωνο που σχηματίζει τα τρία σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του τριγώνου.Οι βρίσκονται πάνω στις αντίστοιχα.Θεωρούμε το μέσο του τόξου , το σημείο τομής των και .Ακόμα, βρίσκεται στην με κάθετη στην .Σημείο βρίσκεται στην με .Επίσης, βρίσκεται στον έτσι ώστε διχοτομεί .Τα και δεν βρίσκονται στην ίδια πλευρά του .Εάν το αντιδιαμετρικό του στον ,να αποδείξετε ότι η περνάει μέσα από το και το μέσο του και ότι η κάθετη από το στην βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

i)Οι ασκήσεις είναι με αυξανόμενη δυσκολία (επιπέδο JMO(1) και ΙΜΟ(2,3) )
ii)Για το κάθε πρόβλημα υπάρχουν τουλάχιστον 3 πανέμορφες λύσεις!

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

1) Στο ,το σημείο βρίσκεται πάνω στη πλευρά ώστε κάθετη στη .Θεωρούμε το έκκεντρο του , το έκκεντρο του , το έκκεντρο του και το έκκεντρο του .Να βρείτε όλες τις τιμές της στις οποίες είναι παραλληλόγραμμο και να αποδείξετε ότι δεν ισχύει καμία άλλη τιμή.

Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)-p1.png (23.31 KiB) Προβλήθηκε 1654 φορές

Έχουμε πως το βρίσκεται στην διχοτόμο του . Όμοια όμως και το βρίσκεται στην διχοτόμο του . Επομένως τα σημεία και είναι συνευθειακά.

Όμοια και τα σημεία και είναι συνευθειακά.

Επομένως .

Έστω . Από γνωστό λήμμα έχουμε πως , άρα και .

Όμως έχουμε πως το τρίγωνο είναι ορθογώνιο (, αφού και είναι διχοτόμοι ορθών γωνιών), άρα .

Για να είναι το παραλληλόγραμμο πρέπει .

Θα αποδείξουμε πως πάντα όταν , ισχύει το ζητούμενο.

Έχουμε:

Προφανώς τα τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα λόγω ομοιότητας έχουμε πως τα τρίγωνα και είναι όμοια, δηλαδή ισχύει ότι:

.

Από την παραπάνω ισότητα λόγων συμπεραίνουμε πως τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι όμοια. Αφού όμως τα και είναι όμοια, έπεται πως και τα και είναι όμοια.

Έχουμε τώρα πως:

\displaystyle{\displaystyle{90^o+\dfrac{\widehat{BAD}}{2}+\widehat{DBA}=90^o+\dfrac{\widehat{BAD}}{2}}.

Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και επομένως τα τρίγωνα και είναι όμοια. Όμως τα τρίγωνα και είναι όμοια, λόγω της ομοιότητας των και .

Επομένως τα τρίγωνα και είναι όμοια και αφού η είναι κοινή έχουμε πως είναι ίσα και αντίστροφα τοποθετημένα, άρα πράγματι το είναι παραλληλόγραμμο.

Σε λίγο και το σχήμα!

[Demetres]

Προσοχή! Αν ο διαγωνισμός είναι ακόμη σε εξέλιξη τότε μάλλον δεν είναι θεμιτό να συζητούμε τις ασκήσεις του εδώ.

Παναγιώτη, μπορείς να μας ενημερώσεις σχετικά με τους κανονισμούς του διαγωνισμού;

[Panagiotis11]

Προσοχή! Αν ο διαγωνισμός είναι ακόμη σε εξέλιξη τότε μάλλον δεν είναι θεμιτό να συζητούμε τις ασκήσεις του εδώ.

Παναγιώτη, μπορείς να μας ενημερώσεις σχετικά με τους κανονισμούς του διαγωνισμού;

Καλησπέρα,ο διαγωνισμός έχει τελειώσει εδώ και κάμποσο καιρό.Οποιαδήποτε λύση σας είναι ευπρόσδεκτη!

Επίσης ο χρόνος για την επίλυση των τριών ασκήσεων ήταν 4,5 ώρες για κάθε μια από τις 2 μέρες του διαγωνισμού.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

2) Θεωρούμε σκαληνό. το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το και κύκλο με κέντρο εφαπτόμενο στις και ο οποίος τέμνει την στο και την στο . Οι ευθείες και τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία αντίστοιχα.Θεωρούμε μέσω . είναι το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των και και η προβολή του ορθόκεντρου του στην ευθεία.Να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.

Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)-p2a.png (45.42 KiB) Προβλήθηκε 1476 φορές

Έστω τα ύψη του τριγώνου και το ορθόκεντρο.

Καταρχάς το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , άρα το είναι εγγράψιμο.
Το ανήκει στην τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (1) (θα το αποδείξουμε στο τέλος).

Έστω το σημείο τομής του κύκλου με διάμετρο την με τον περιγεγραμμένο κύκλο του .

Θεωρούμε αρνητική αντιστροφή με πόλο το και δύναμη .

Έχουμε λοιπόν πως ο περιγεγραμμένος κύκλος του γίνεται ο περιγεγραμμένος κύκλος του , δηλαδή ο κύκλος του .

Ακόμη ο κύκλος με διάμετρο την γίνεται η ευθεία . Επομένως το αντίστροφο του είναι το σημείο τομής της με τον κύκλο , δηλαδή το μέσο της (δεν είναι το , αφού το αντίστροφο του είναι το και θα έπρεπε , άτοπο).

Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά και μάλιστα ισχύει ότι .

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι το είναι εγγράψιμο, άρα το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , αλλά και στον περιγεγραμμένο κύκλο του και αφού είναι διάφορο του έχουμε πως είναι το . Επομένως .

Θέλουμε να αποδείξουμε πως το είναι εγγράψιμο, δηλαδή πως το είναι εγγράψιμο. Αρκεί , που ισχύει λόγω του εγγράψιμου , του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται στο .

Μένει λοιπόν να αποδείξουμε την (1).

Διαδικτυακός Διαγωνισμός Γεωμετρίας (Ημέρα 1η)-p2b.png (52.54 KiB) Προβλήθηκε 1451 φορές

Θα αποδείξουμε συγκεκριμένα πως αν το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των και , τότε θα ανήκει και στον κύκλο , δηλαδή το θα είναι η τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του με του .

Όμοια θα ισχύει και για το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των και , επομένως το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των και θα ταυτίζεται με την τομή των περιγεγραμμένων κύκλων των και , άρα πράγματι το θα είναι τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του με του .

Φέρνουμε την . Έχουμε πως το είναι εγγράψιμο, καθώς και . Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων αυτού του τετραπλεύρου.

Έστω το σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . Από το εγγράψιμο έχουμε πως .

Όμως (από το εγγράψιμο ). Άρα έχουμε πως , άρα το είναι εγγράψιμο. Επομένως το .

Θέλουμε να αποδείξουμε πως το είναι εγγράψιμο. Αρκεί να αποδείξουμε πως το είναι εγγράψιμο.

Όμως το είναι εγγράψιμο, καθώς .

Αρκεί να αποδείξουμε πως και το είναι εγγράψιμο.

Έστω .

Λόγω του ότι το είναι ορθογώνιο και το μέσο της , έχουμε πως το .

Άρα αρκεί .

Φέρνουμε την . Από εγγεγραμμένες γωνίες έχουμε πως .

Ακόμη η ευθεία είναι ευθεία Simson από το σημείο , άρα το σημείο τομής της με την θα είναι το σημείο τομής της κάθετης από το προς την , δηλαδή το . Άρα τα είναι συνευθειακά. Αφού τώρα ( είναι η πολική του στον κύκλο με κέντρο ), έχουμε πως

Όμως λόγω της καθετότητας , έχουμε πως , άρα πράγματι και το ζητούμενο έπεται.

[Panagiotis11]

Πολύ ωραίες οι λύσεις σου Διονύση!

Όσο για την άσκηση 3,να περιμένω να λυθεί πρωτού ανεβάσω και τα επόμενα 3 προβλήματα ή όχι;

Μην ξεχνάτε ότι όπως είχα πει υπάρχουν και άλλοι τρόποι λύσης των ασκήσεων

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

1) Τριγωνομετρία
2)Φέρνουμε