Σχεδόν όλες μιγαδικές

#1

Να δειχθεί ότι, για περιττό

, το πολυώνυμο (x-1)^n(x^n+1)+(x+1)^n

δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των x=0

και

.

harrisp · #2

gbaloglou έγραψε:Να δειχθεί ότι, για περιττό , το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες πέραν των και .

Επαναφορά!

JimNt. · #3

Ουσιαστικά αρκεί $\dfrac{P(x)}{x(x+1)}>0$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πολύ ωραίο.
Αν το θέσουμε p(x)

Αρκεί να δείξουμε ότι
$x\geq 1\Rightarrow p(x)> 0,0< x< 1\Rightarrow p(x)> 0,-1< x< 0\Rightarrow p(x)< 0$
και
$x<-1\Rightarrow p(x)> 0$
Το πρώτο είναι προφανές.
Τα άλλα γίνονται με επαγωγή ως εξής.

Το δεύτερο γράφεται $x^{n}+1< (\dfrac{x+1}{1-x})^{n}$

και σε αυτήν την μορφή κάνουμε επαγωγή.
Στις άλλες μορφές φτιάχνουμε όμοιες ανισοτικές σχέσεις (η φορά τις ανισότητας αλλάζει)
και κάνουμε επαγωγή.

#5

Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

gbaloglou έγραψε:Σημαδιακό το ότι η λύση εμφανίζεται, έστω και σκιαγραφημένη, περίπου ("on or about") στα γενέθλια (facebook) του Σωτήρη Λουρίδα, που είναι και ο ουσιαστικός δημιουργός του προβλήματος! (Πως και γιατί θα αποκαλυφθεί αργότερα, δίνω τώρα την ευκαιρία και για άλλες λύσεις, μία από τις οποίες θα είναι δική μου, άνευ επαγωγής...)

Γεια σου Γιώργο.
Δεν την έγραψα αναλυτικά γιατί είναι πολλές πράξεις.Και είναι πράξεις ρουτίνας.
Που στο χαρτί γίνονται σε πέντε λεπτά αλλά στο tex μπορεί να μου πάρει και ώρα.

#7

Η δική μου λύση:
Αρκεί να δειχθεί, όπως ήδη παρατηρήθηκε, ότι P(x)<0

αν και μόνον αν -1<x<0

. Αυτό προκύπτει άμεσα από την ισότητα

$P(x)=(x+1)[x(x-1)^{n+1}(x^{n-3}+...+x^2+1)+(x-1)^n+(x+1)^{n-1}]$

και το γεγονός ότι το άθροισμα $(x-1)^n+(x+1)^{n-1}$ είναι θετικό για x>0

και αρνητικό για x<0

.
Ο παραπάνω ισχυρισμός προκύπτει από τις ανισότητες |x-1|<1

&

για

,

&

για

, και

$(x-1)^n+(x+1)^{n-1}<-2(x-1)^{n-1}+(x+1)^{n-1}<-2(x+1)^{n-1}+(x+1)^{n-1}$

για x<-1

.

[Το πρόβλημα αυτό είναι μετασχηματισμός του προβλήματος που έθεσε ο Σωτήρης Λουρίδας και έλυσε ο Διονύσης Αδαμόπουλος ... εδώ

]

Σχεδόν όλες μιγαδικές

Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Re: Σχεδόν όλες μιγαδικές

Μέλη σε σύνδεση