Γωνία από αναλογίες

#1

: Γωνία από αναλογίες.png (9.64 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές( AB=AC)

και το

είναι σημείο στο εσωτερικό του ώστε τα τμήματα

PB, PA, PC

να είναι ανάλογα με τους αριθμούς 1, 2, 3.

Να βρείτε τη γωνία $A\widehat PB=\theta.$

KARKAR · #2

: 135.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Ας προσανατολισθούμε σε γεωμετρική λύση . Αρχικά κατασκευάζουμε το σημείο

,

ως τομή των απολλώνιων ημικυκλίων με λόγους 1:3

( το διαμέτρου C'S)

) και

(το διαμέτρου A'T

) . Το σημείο αυτό υπάρχει ( ευτυχώς ! )

Μεταφέρω το τρίγωνο APB

στη θέση

. Είναι τα B,P,P'

συνευθειακά ;

#3

: γωνία απο αναλογίες.png (48.39 KiB) Προβλήθηκε 1055 φορές

Κι εγώ στα ίδια περίπου έχω το πρόβλημα:

Είναι ;

#4

KARKAR έγραψε:...Μεταφέρω το τρίγωνο στη θέση . Είναι τα συνευθειακά ;

Doloros έγραψε:Κι εγώ στα ίδια περίπου έχω το πρόβλημα:
Είναι ;

Ναι σε όλα! (απάντηση εκ των υστέρων).
Αν αυτό σας παρηγορεί, έχω μόνο τριγωνομετρική λύση

...προς το παρόν.

KARKAR · #5

: 135.png (22.43 KiB) Προβλήθηκε 1023 φορές

Το τρίγωνο PP'C

είναι ορθογώνιο στο

, αφού για τις πλευρές του ισχύει :

$k^2+(2\sqrt{2}k)^2=(3k)^2$ . Όμως το

είναι σημείο του περικύκλου , αφού $\widehat{AP'B}=45^0$ ,

συνεπώς και $\widehat{BP'C}=90^0$ , άρα τα B,P,P'

είναι συνευθειακά , δηλαδή $\widehat{APB}=135^0$

#6

KARKAR έγραψε:135.png Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο , αφού για τις πλευρές του ισχύει :

$k^2+(2\sqrt{2}k)^2=(3k)^2$ . Όμως το είναι σημείο του περικύκλου , αφού $\widehat{AP'B}=45^0$ ,

συνεπώς και $\widehat{BP'C}=90^0$ , άρα τα είναι συνευθειακά , δηλαδή $\widehat{APB}=135^0$

Χειροκρότημα στον κ. (εξετέλεσε και πάλι αλλότρια σύνθεση άριστα )

#7

KARKAR έγραψε:135.png Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο , αφού για τις πλευρές του ισχύει :

$k^2+(2\sqrt{2}k)^2=(3k)^2$ . Όμως το είναι σημείο του περικύκλου , αφού $\widehat{AP'B}=45^0$ ,

συνεπώς και $\widehat{BP'C}=90^0$ , άρα τα είναι συνευθειακά , δηλαδή $\widehat{APB}=135^0$

O συνθέτει, λύνει, γράφει και απλουστεύει τη ζωή

#8

Η τριγωνομετρική μου λύση.

: Γωνία από αναλογίες.b.png (12.11 KiB) Προβλήθηκε 964 φορές

Νόμος συνημιτόνων στα ABP, APC:

$\boxed{\cos \theta = \frac{{5{k^2} - {b^2}}}{{4{k^2}}}}$ (1)

και $\boxed{\cos ({90^0} - \varphi ) = sin\varphi = \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4bk}}}$ (2)

Νόμος ημιτόνων στο ABP:

$\displaystyle{\frac{{\sin \varphi }}{{\sin \theta }} = \frac{k}{b}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \sin \theta = \frac{b}{k} \cdot \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4bk}} = \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4{k^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sin \theta = - \cos \theta \Leftrightarrow }$ $\boxed{\theta=135^0}$

#9

george visvikis έγραψε:Η τριγωνομετρική μου λύση. Γωνία από αναλογίες.b.png
Νόμος συνημιτόνων στα $\boxed{\cos \theta = \frac{{5{k^2} - {b^2}}}{{4{k^2}}}}$ και $\boxed{\cos ({90^0} - \varphi ) = sin\varphi = \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4bk}}}$

Νόμος ημιτόνων στο $\displaystyle{\frac{{\sin \varphi }}{{\sin \theta }} = \frac{k}{b}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \sin \theta = \frac{b}{k} \cdot \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4bk}} = \frac{{{b^2} - 5{k^2}}}{{4{k^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sin \theta = - \cos \theta \Leftrightarrow }$ $\boxed{\theta=135^0}$

Και Γεωμετρία και Τριγωνομετρία.

Αυτός που ωφελεί παντού ωφελεί ( ή επί το Κρητικό : Απού φελά παντού φελά)

Ωραίος Γιώργο

Γωνία από αναλογίες

Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Re: Γωνία από αναλογίες

Μέλη σε σύνδεση