ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

S.E.Louridas · #1

Γεωμετρία!

Θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα
${\rm A}{\rm A}{'} ,{\rm B}{\rm B}{'}$
με μόνο κοινό τους σημείο έστω το Ο που είναι διάφορο των άκρων τους. Δίνονται σημεία Ζ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{'} {\rm O}{\rm B},$
Ε εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm B}{'} {\rm O}{\rm A}$
και Ρ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{\rm O}{\rm B},\mu \varepsilon \;{\rm O}{\rm P} \geqslant d_1 + d_2 ,$
όπου
d_1 ,d_2

οι αποστάσεις των Ζ, Ε από τις ΟΒ, ΟΑ αντίστοιχα.
Να εξετάσετε την δυνατότητα ύπαρξης σημείων
${\rm K} \in {\rm O}{\rm A},\Lambda \in {\rm O}{\rm B},$ ώστε:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right) + \left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right) = \left( {{\rm P}{\rm K}\Lambda } \right)} \\ {d_1 \left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right) + d_2 \left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right) = \lambda \left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right)\left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right)} \\ \end{array} } \right.,$
όπου λ θετική σταθερή.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #2

Επιτρέψτε μου μία υπόδειξη που οδηγεί στην λύση του προβλήματος,που το θεωρώ σημαντικό γιά αυτούς που ασχολούνται με πρωτότυπα θέματα κίνησης (επιπέδου Ι.Μ.Ο. και Β.Μ.Ο.).
Είναι ενα θέμα το οποίο επιδέχεται διερεύνησης με μαθηματικό ενδιαφέρον.
Εδώ,λοιπόν έχουμε συνδυασμό α)Θεωρήματος Clairaut ,b)του γεγονότος οτι οι ΚΛ διέρχονται τελικά από σταθερό
σημείο.Αρα εν γένει έχουμε δύο σημεία που ορίζουν ευθεία στην οποία ανήκει το ΚΛ.

S.E.Louridas

#3

S.E.Louridas έγραψε:Γεωμετρία!

Θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα
${\rm A}{\rm A}{'} ,{\rm B}{\rm B}{'}$
με μόνο κοινό τους σημείο έστω το Ο που είναι διάφορο των άκρων τους. Δίνονται σημεία Ζ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{'} {\rm O}{\rm B},$
Ε εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm B}{'} {\rm O}{\rm A}$
και Ρ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{\rm O}{\rm B},\mu \varepsilon \;{\rm O}{\rm P} \geqslant d_1 + d_2 ,$
όπου

οι αποστάσεις των Ζ, Ε από τις ΟΒ, ΟΑ αντίστοιχα.
Να εξετάσετε την δυνατότητα ύπαρξης σημείων
${\rm K} \in {\rm O}{\rm A},\Lambda \in {\rm O}{\rm B},$ ώστε:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right) + \left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right) = \left( {{\rm P}{\rm K}\Lambda } \right)} \\ {d_1 \left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right) + d_2 \left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right) = \lambda \left( {{\rm E}{\rm O}{\rm K}} \right)\left( {{\rm Z}{\rm O}\Lambda } \right)} \\ \end{array} } \right.,$
όπου λ θετική σταθερή.

S.E.Louridas

Αγαπητέ φίλε Λουρίδα,
ασχολήθηκα με το πρώτο μέρος του σημαντικού προβλήματος που έβαλες, τη λύση του οποίου δίνω με το συνημμένο μου 17. Όσο για το δεύτερο μέρος, θα ασχοληθώ όταν μου δοθεί χρόνος.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#4

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Γεωμετρία!

Θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα
${\rm A}{\rm A}{'} ,{\rm B}{\rm B}{'}$
με μόνο κοινό τους σημείο έστω το Ο που είναι διάφορο των άκρων τους. Δίνονται σημεία Ζ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{'} {\rm O}{\rm B},$

S.E.Louridas
Αγαπητέ φίλε Λουρίδα,
ασχολήθηκα με το πρώτο μέρος του σημαντικού προβλήματος που έβαλες, τη λύση του οποίου δίνω με το συνημμένο μου 17. Όσο για το δεύτερο μέρος, θα ασχοληθώ όταν μου δοθεί χρόνος.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή το Μ πρέπει να ανήκει και στην ΟΡ,είναι ανάγκη να υπάρχει και άλλη σσυνθήκη, την οποία θα δώσουμε με το επόμενο μήνυμά μας.,

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#5

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
S.E.Louridas έγραψε:Γεωμετρία!

Θεωρούμε τα ευθύγραμμα τμήματα
${\rm A}{\rm A}{'} ,{\rm B}{\rm B}{'}$
με μόνο κοινό τους σημείο έστω το Ο που είναι διάφορο των άκρων τους. Δίνονται σημεία Ζ εσωτερικό της γωνίας
$\sphericalangle {\rm A}{'} {\rm O}{\rm B},$

S.E.Louridas
Αγαπητέ φίλε Λουρίδα,
ασχολήθηκα με το πρώτο μέρος του σημαντικού προβλήματος που έβαλες, τη λύση του οποίου δίνω με το συνημμένο μου 17. Όσο για το δεύτερο μέρος, θα ασχοληθώ όταν μου δοθεί χρόνος.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Αγαπητοί φίλοι,
επειδή το Μ πρέπει να ανήκει και στην ΟΡ,είναι ανάγκη να υπάρχει και άλλη σσυνθήκη, την οποία θα δώσουμε με το επόμενο μήνυμά μας.,

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
για να εκπληρώσoυμε υπόσχεσή μας, δίνουμε το συνημμένο 17, συμπληρωμένο και με την ιδιότητα που πρέπει να έχει το δοσμένο σημείο Ρ (πρώτο ζητούμενο του προβλήματος).
Θα ακολουθήσει μήνυμά μας με την λύση του δεύτερου ζητούμενο του προβλήματος.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#6

Αγαπητοί φίλοι,
για να εκπληρώσουμε υπόσχεσή μας, δίνουμε το συνημμένο 17, στην τελική του μορφή, με τη λύση της Πρότασης ολοκληρωμένη, κατά το δυνατό, από έλλειψη χρόνου.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

S.E.Louridas · #7

GGΓΓ

Επιτρέψτε μου ,για λόγους που επιβάλει η Μαθηματική πολυφωνία, να εκθέσω και τις σκέψεις μου.
Από τα σημεία Ε, Ζ θεωρούμε παράλληλες προς τις ΟΑ, ΟΒ αντίστοιχα οι οποίες έστω ότι τέμνονται στο σημείο Σ. Αν θεωρήσουμε
${\rm P}{\rm T} = \parallel {\rm O}\Sigma$ (οπότε το Τ προσδιορίζεται πλήρως) τότε για την τυχούσα θέση του ΚΛ που διέρχεται από το Τ και με βάση το θεώρημα του Clairaut παίρνουμε: (ΡΚΛ)=(ΕΚΟ)+(ΖΟΛ). Παρατηρούμε μετά από κάποιες πράξεις πάνω στην 2η συνθήκη ότι:
$\frac{1}{{{\rm O}{\rm K}}} + \frac{1}{{{\rm O}\Lambda }} = \lambda .$

Αυτό σημαίνει ότι η ΚΛ τέμνει την διχοτόμο της γωνίας ΑΟΒ, σε σημείο Π σταθερό και αυτό καθότι ο ρόμβος ΟΗΠΘ, με Η σημείο της ΟΑ και Θ σημείο της ΟΒ έχει κατά τα γνωστά πλευρά 1/λ δηλαδή ο ρόμβος είναι σταθερός.
Αν λοιπόν ενώσουμε τα σημεία Τ , Π προσδιορίζουμε τα σημεία Κ, Λ.

S.E.Louridas

#8

Καλημέρα.
Τις σχετικές απόψεις μας δίνουμε στο παρακάτω συνημμένο μας 18.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

S.E.Louridas · #9

Φίλε Νίκο

Σε ευχαριστώ θερμά που ασχολήθηκες Επιστημονικά και επιτυχώς με το πρόβλημα.
Επειδή η γεωμετρία είναι 'οπτικολογικό γίγνεσθαι' ύψιστης Μαθηματικής απόδοσης που πολλές φορές δοκιμάζει τον νού,
θα πρέπει έστω και σαν Μαθηματικοπροπονητικό εργαλείο να διατηρηθεί ως κόρη οφθαλμού.

S.E.Louridas

#10

S.E.Louridas έγραψε:Φίλε Νίκο

Σε ευχαριστώ θερμά που ασχολήθηκες Επιστημονικά και επιτυχώς με το πρόβλημα.
Επειδή η γεωμετρία είναι 'οπτικολογικό γίγνεσθαι' ύψιστης Μαθηματικής απόδοσης που πολλές φορές δοκιμάζει τον νού,
θα πρέπει έστω και σαν Μαθηματικοπροπονητικό εργαλείο να διατηρηθεί ως κόρη οφθαλμού.

S.E.Louridas

Αγαπητέ φίλε κ. Λουρίδα,
Σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια.
Χαίρομαι γιατί οι απόψεις μας, σχετικά με τη Γεωμετρία, συμπίπτουν απόλυτα.
Συμφωνώ, ότι η Γεωμετρία πρέπει να διατηρηθεί ως κόρη οφθαλμού και κυρίως από εμάς τους Έλληνες, καθώς είναι η κατεξοχήν Ελληνική επιστήμη, που δόξασε και δοξάζει την Ελλάδα σε όλο τον κόσμο.
Όμως αυτά δεν πρέπει να μένουν μόνο ευχές. Θα πρέπει και εμείς να την τιμούμε ασχολούμενοι περισσότερο με αυτή, καταργώντας τη «λογική των εισαγωγικών εξετάσεων»,που κυριαρχεί. (Οι ξένοι ασχολούνται περισσότερο από εμάς με τη Γεωμετρία).

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

#11

Αγαπητέ φίλε κ. Λουρίδα,
προκειμένου να εκπληρώσω σχετική υπόσχεσή μου, δίνω παρακάτω με το συνημμένο μου 19, μία πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, διαπραγμάτευση του Θεωρήματος Πάππου (Clairaut), την οποία αφιερώνω σε σένα προσωπικά, καθώς η δική σου άσκηση ήταν το κίνητρο για να ασχοληθώ και να την επιτύχω.
Σύντομα θα ακολουθήσει και μια νέα απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος ανάλογη με την παραπάνω διαπραγμάτευση.

Με αγάπη και εκτίμηση,
Νίκος Κυριαζής.

S.E.Louridas · #12

Αγαπητέ Φίλε Νίκο,
Σε ευχαριστώ προσωπικά.Δυστυχώς η 'σημερινή Ελλάδα' ίσως 'ντρέπεται' να επενδύσει στον παράγοντα
Ελληνική -Μαθηματική-Εκπαίδευση (και οχι μόνο) αφήνοντας τον ρόλο αυτό στους ξένους.
Γιά παράδειγμα οι γείτονές μας οι Τούρκοι παίζουν στίς πρώτες θέσεις των Ι.Μ.Ο.,πράγμα που προφανώς αντανακλά γιά αυτούς, διεθνώς, θετικά.
Εδώ επίτρεψέ μου να αναφέρω μία προσωπική μου άποψή.Λαικισμός +Επιστήμη=Ατοπο.
Σοβαρότητα στην πράξη+Επιστήμη=Προόδος.
Αυτό γίνεται ακόμη εμφανέστερο οταν πρόκειται γιά την Μαθηματική επιστήμη και ιδιαίτερα γιά τις Ελληνικών ριζών ενότητες της Γεωμετρίαςκαι της Αριθμοθεωρίας.
Μήπως ωριμάζει η ιδέα της δημιουργίας Πρακτικών Σχολείων (και Κλασσικών);

S.E.Louridas

#13

Αγαπητοί φίλοι,
δίνω παρακάτω με το συνημμένο μου 20, μία πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, απόδειξη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, όπως είχα υποσχεθεί, την οποία αφιερώνω στον αγαπητό φίλο Κώστα Βήττα, τιμής «ένεκεν», καθώς είναι γνωστή η μεγάλη αγάπη του στη Γεωμετρία.
Στην απόδειξη αυτή, είναι φανερό ότι έχει χρησιμοποιηθεί η ευθεία «αναλόγων αποστάσεων» (ευθεία ΑΜΝ, με λόγο α1/α2) .

Φιλικά.
Νίκος Κυριαζής.

#14

S.E.Louridas έγραψε:Αγαπητέ Φίλε Νίκο,
Σε ευχαριστώ προσωπικά.Δυστυχώς η 'σημερινή Ελλάδα' ίσως 'ντρέπεται' να επενδύσει στον παράγοντα
Ελληνική -Μαθηματική-Εκπαίδευση (και οχι μόνο) αφήνοντας τον ρόλο αυτό στους ξένους.
Γιά παράδειγμα οι γείτονές μας οι Τούρκοι παίζουν στίς πρώτες θέσεις των Ι.Μ.Ο.,πράγμα που προφανώς αντανακλά γιά αυτούς, διεθνώς, θετικά.
Εδώ επίτρεψέ μου να αναφέρω μία προσωπική μου άποψή.Λαικισμός +Επιστήμη=Ατοπο.
Σοβαρότητα στην πράξη+Επιστήμη=Προόδος.
Αυτό γίνεται ακόμη εμφανέστερο οταν πρόκειται γιά την Μαθηματική επιστήμη και ιδιαίτερα γιά τις Ελληνικών ριζών ενότητες της Γεωμετρίαςκαι της Αριθμοθεωρίας.
Μήπως ωριμάζει η ιδέα της δημιουργίας Πρακτικών Σχολείων (και Κλασσικών);

S.E.Louridas

Αγαπητέ φίλε κ. Λουρίδα,
έχεις πολύ μεγάλο δίκιο για αυτά που μου λες, ότι η χώρα μας δεν επενδύει στις πνευματικές μας δυνατότητες και στην πολύ μεγάλη πνευματική μας κληρονομιά, που τα έχει όλα απεμπολήσει.
Επιτυχημένες είναι και οι δύο ισότητες που αναφέρεις στο μήνυμά σου.
Όσον αφορά στο πρόβλημά σου, μετά τις τελευταίες σου διευκρινίσεις και αφού έγιναν οι σχετικές διορθώσεις στο συνημμένο μου 17, το ξαναδίνω παρακάτω, συμπληρωμένο πλέον με κάθε λεπτομέρεια, ώστε πιστεύω, να μην αφήνει κανένα ερωτηματικό, έστω και αν θεωρηθεί ότι πλατειάζω.

Με αγάπη και εκτίμηση.
Νίκος Κυριαζής.

#15

Νίκο, σ' ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση, που με τιμά ιδιαίτερα. Αυτή την απόδειξη δεν την έχω ξαναδεί, έχει ιδιαίτερη σημασία για μένα και θα την φυλάξω ξεχωριστά.

Με αγάπη και σεβασμό, Κώστας βήττας.

ΥΓ. Συγχωρέστε με αγαπητοί φίλοι, που έχω χάσει το βηματισμό του mathematica.gr ( μιλάμε βέβαια, για πολύ γρήγορο βηματισμό... ) και μου ξεφεύγουν αρκετά από τα ενδιαφέροντα που συμβαίνουν τελευταία.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ !

Μέλη σε σύνδεση