ΚΑΛΠΙΚΕΣ ΛΙΡΕΣ

[GIORGARAS]

Έχουμε 8 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 3000 λίρες αλλά δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς. Τρείς από τους σάκους έχει κάλπικες λίρες και μόνο κάλπικες λίρες ενώ όλοι οι άλλοι σάκοι έχουν γνήσιες και μόνο γνήσιες λίρες. Ξέρουμε πως κάθε κάλπικη λίρα ζυγίζει 9 γραμμάρια ενώ κάθε κανονική 10. Με μόνο ένα ζύγισμα μπορείτε να βρείτε ποιά σακιά έχουν τις κάλπικες λίρες ?

[fmak65]

Έχει ξανασυζητηθεί.
viewtopic.php?f=44&t=14576&p=92339&hili ... %82#p92339

[Mihalis_Lambrou]

Έχουμε 10 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 10 λίρες αλλά δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς. Τρείς από τους σάκους έχει κάλπικες λίρες και μόνο κάλπικες λίρες ενώ όλοι οι άλλοι σάκοι έχουν γνήσιες και μόνο γνήσιες λίρες. Ξέρουμε πως κάθε κάλπικη λίρα ζυγίζει 9 γραμμάρια ενώ κάθε κανονική 10. Με μόνο ένα ζύγισμα μπορείτε να βρείτε ποιά σακιά έχουν τις κάλπικες λίρες ?

Φώτη, δεν είναι το ίδιο πρόβλημα. Σημείωσα με κόκκινο και με μπλε δύο από τις διαφορές.

Το γεγονός ότι δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς λίρες περιέχει κάθε σάκος, μας περιορίζει. Για παράδειγμα δεν μου είναι σαφές ότι μπορούμε να πάρουμε από τους σάκους λίρες, αντίστοιχα, αφού δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς λίρες έχει κάθε σάκος (υπάρχει σάκος με λίρες;)

Ας μας διαφωτίσει ο θεματοθέτης.

[GIORGARAS]

Ναι έχετε δίκιο.
Πρέπει να έγραφα πχ ότι ο κάθε σάκος έχει το λιγότερο πχ 1000 λίρες.
Κάπου είχα δεί μια λύση αλλά δεν τη θυμάμαι.
Ευχαριστώ !

[Mihalis_Lambrou]

Ναι έχετε δίκιο.
Πρέπει να έγραφα πχ ότι ο κάθε σάκος έχει το λιγότερο πχ 1000 λίρες.
Κάπου είχα δεί μια λύση αλλά δεν τη θυμάμαι.
Ευχαριστώ !

Δεν θα παρατήρησες ότι αυτό που έγραψα δύο ποστ παραπάνω είναι λύση. Μου ήταν σαφές από την αρχή ότι η άσκηση ήθελε βελτίωση της εκφώνησης, και η λύση που σκιαγράφησα προέβλεπε την σωστή διόρθωση.

Ας γράψω ξανά την λύση, αλλά αναλυτικότερα.

Παίρνουμε από τους σάκους λίρες, αντίστοιχα. Με ένα ζύγισμα αντιλαμβανόμαστε πόσο είναι το έλλειμμα σε γραμμάρια των λιρών μας από το πλήρες βάρος που αναμένουμε. Ο αριθμός αυτός μας δίνει το πλήθος των κάλπικων λιρών. Επειδή τώρα ο αριθμός αυτός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στο δυαδικό σύστημα, μας προσδιορίζει αμέσως και την προέλευση/τους σάκους των λιρών. Τελειώσαμε.

Ας προσθέσω ότι το γεγονός ότι ακριβώς τρεις σάκοι έχουν κάλπικες λίρες, είναι περιττή πληροφορία. Θα μπορούσαν να ήσαν "όσοι νάναι", ενώ η παραπάνω λύση διευθετεί και την γενοικότερη εκδοχή.

[fmak65]

κ.Λάμπρου αυτή την λύση είχα υπόψη μου όταν έδωσα την παραπομπή, γιατί μετά την λύση της απλής περίπτωσης, ο Γιώργος Απόκης είχε δώσει την γενίκευση που περιλαμβάνει το συγκεκριμένο πρόβλημα. Δεν πρόσεξα ότι έλειπαν στοιχεία. Επίσης ο Δημήτρης Χριστοφίδης έθεσε ένα ερώτημα που έμεινε αναπάντητο.

Ας βρεθεί γι' αυτά τα δυο προβλήματα και ο ελάχιστος αριθμός νομισμάτων που χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν. (Πάντα με μία ζύγιση.)

[Mihalis_Lambrou]

Έχουμε 8 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 3000 λίρες

Τώρα αντιλαμβάνομαι ότι έγιναν δύο διορθώσεις στην αρχική εκφώνηση:

Έχουμε 10 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 10 λίρες

Προσθέτω ότι η διόρθωση του σε είναι περιττή και δεν αλλάζει τίποτα ουσιαστικό.

Η λύση που έγραψα περιλαμβάνει και την περίπτωση του .

Φώτη: Σωστά. Επίσης, χαιρετίσματα στην απίθανη οικογένειά σου.

[nikkru]

Έχουμε 8 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 3000 λίρες αλλά δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς. Τρείς από τους σάκους έχει κάλπικες λίρες και μόνο κάλπικες λίρες ενώ όλοι οι άλλοι σάκοι έχουν γνήσιες και μόνο γνήσιες λίρες. Ξέρουμε πως κάθε κάλπικη λίρα ζυγίζει 9 γραμμάρια ενώ κάθε κανονική 10. Με μόνο ένα ζύγισμα μπορείτε να βρείτε ποιά σακιά έχουν τις κάλπικες λίρες ?

ΔΙΑΓΡΑΦΗ ΛΑΘΟΣ ΛΥΣΗΣ όπως ορθά παρατήρησε ο Φώτης (επόμενο ποστ)

Στο μεθεπόμενο ποστ ανέβασα την σωστή λύση.

[fmak65]

nikkru
Αν αξιοποιήσουμε το ότι μόνο τρία σακιά περιέχουν κάλπικες λίρες, αρκεί οι σάκοι να περιέχουν τουλάχιστον 15 λίρες,
παίρνοντας 1,2,4,8,15 λίρες από πέντε σάκους αντίστοιχα.

Αν από τους 5 σάκους ο 1 έχει κάλπικες λίρες, βρήκαμε μόνο τον 1 σάκο με κάλπικες. Οι υπόλοιποι 2 σάκοι ποιοι είναι από τους 3 που δεν ελέγχθηκαν???
Όμοια και η άλλη περίπτωση.

[GIORGARAS]

Αγαπητοί μου ελαφρώς μπερδεύτηκα !
Λίγο ξακαθάρισμα αν γίνεται;
Ευχαριστώ !

[nikkru]

Έχουμε 8 σάκους με λίρες. Κάθε σάκος περιέχει τουλάχιστον 3000 λίρες αλλά δεν ξέρουμε πόσες ακριβώς. Τρείς από τους σάκους έχει κάλπικες λίρες και μόνο κάλπικες λίρες ενώ όλοι οι άλλοι σάκοι έχουν γνήσιες και μόνο γνήσιες λίρες. Ξέρουμε πως κάθε κάλπικη λίρα ζυγίζει 9 γραμμάρια ενώ κάθε κανονική 10. Με μόνο ένα ζύγισμα μπορείτε να βρείτε ποιά σακιά έχουν τις κάλπικες λίρες ?

Αν αξιοποιήσουμε το ότι μόνο τρία σακιά περιέχουν κάλπικες λίρες, η λύση διαφοροποιείται ως προς το πλήθος των λιρών που πρέπει να περιέχουν τα σακιά.
(Το άθροισμα κάθε ζεύγους ή τριάδας αριθμών πρέπει να εμφανίζεται μια μόνο φορά, κάθε αριθμός μετά τον τρίτο ισούται με το άθροισμα των τριών προηγούμενων).

Όταν έχουμε οχτώ σάκους, αρκεί οι σάκοι να περιέχουν τουλάχιστον 44 λίρες, παίρνοντας λίρες από εφτά σάκους αντίστοιχα.

π,χ. αν οι λίρες που πήραμε ζυγίζουν 939 γρ. τότε αν όλες ήταν γνήσιες, θα ζύγιζαν γραμμάρια. Ζυγίζουν 939 γρ, άρα έχουμε πάρει κάλπικες λίρες, οπότε τα σακιά με τις κάλπικες λίρες είναι αυτά από όπου πήραμε τις 4 και τις 7 λίρες καθώς και το σακί που δεν πήραμε λίρες.

Στην περίπτωση των δέκα σάκων, πρέπει κάθε σάκος να περιέχει τουλάχιστον 149 λίρες,
Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε λίρες από εννιά σάκους αντίστοιχα.

[GIORGARAS]

Δηλαδή δίνετε έναν άλλο τρόπο λύσης εκτός της λύσης με το δυαδικό σύστημα.
Η διαφορά βρίσκεται στο μικρότερο ίσως αριθμό ράβδων που θα πάρουμε;
Πάντως πολύ καλές και οι δύο λύσεις.

Σας ευχαριστώ !

[ΝΕΝΑ]

Μπορείτε αν θέλετε να μου δώσετε και ένα άλλο παράδειγμα πιο κατατοπιστικό;
πχ γράφετε σε κάποιο σημείο του παραδείγματος σας ότι το τρίτο σακί είναι αυτό που δεν πήραμε λίρες.
Να υποθέσω ότι θα αφήνουμε πάντα το τελευταίο σακί που δεν θα παίρνουμε λιρες;
Δώστε εν θέλετε ένα παράδειγμα.
Επίσης πως βρήκατε αυτή την ακολουθία των αριθμών;Υπάρχει κάποιο σκεπτικό;
Ευχαριστώ .

[nikkru]

Μπορείτε αν θέλετε να μου δώσετε και ένα άλλο παράδειγμα πιο κατατοπιστικό;
πχ γράφετε σε κάποιο σημείο του παραδείγματος σας ότι το τρίτο σακί είναι αυτό που δεν πήραμε λίρες.
Να υποθέσω ότι θα αφήνουμε πάντα το τελευταίο σακί που δεν θα παίρνουμε λιρες;
Δώστε εν θέλετε ένα παράδειγμα.
Επίσης πως βρήκατε αυτή την ακολουθία των αριθμών;Υπάρχει κάποιο σκεπτικό;
Ευχαριστώ .

Αυτό που μας βοηθάει να ξεχωρίσουμε γνήσιες και κάλπικες λίρες είναι η διαφορά βάρους που έχουν (1 γραμμάριο).

α) Αν είχαμε μόνο δύο σακιά λίρες με τα γράμματα Α και Β πάνω τους, παίρνοντας δύο λίρες από το σακί Α και πέντε από το σακί Β σκέψου τι αποτελέσματα θα είχαμε από την ζύγιση αυτών των οχτώ λιρών και προσπάθησε να βρεις τι είδους λίρες περιέχει κάθε σακί από τα Α και Β.
β) Θα μπορούσες να βρεις τι είδους λίρες περιέχει κάθε σακί από τα Α και Β αν έπαιρνες π.χ. 4 λίρες από κάθε σακί; Γιατί;

Ας πάμε τώρα στο πρόβλημα μας, όπου τρία σακιά έχουν κάλπικες λίρες ( και άρα τα υπόλοιπα πέντε σακιά έχουν γνήσιες )
Πάνω σε κάθε σακί βάζουμε ένα από τα γράμματα για να μπορούμε να τα ξεχωρίζουμε.

γ) Ας πάρουμε λίρες μόνο από εφτά τυχαία σακιά.
Αν διαπιστώσουμε ότι δύο από αυτά έχουν κάλπικες λίρες και τα άλλα πέντε περιέχουν γνήσιες, τότε το σακί από το οποίο δεν πήραμε λίρες περιέχει γνήσιες ή κάλπικες;
Τι είδους λίρες περιέχει το σακί από το οποίο δεν πήραμε λίρες αν τρία από τα εφτά περιέχουν κάλπικες λίρες;
Παίζει ρόλο τελικά από ποιο σακί δεν θα πάρουμε λίρες;

Πάμε τώρα στην επιλογή του αριθμού των λιρών που παίρνουμε από κάθε σακί.
Το σκεπτικό και στη λύση του κ. Λάμπρου και στη δική μου είναι το πλήθος των κάλπικων λιρών (δηλαδή πόσα γραμμάρια λείπουν από τις λίρες που ζυγίσαμε σε σχέση με το βάρος που θα είχαν αν ήταν όλες γνήσιες) να αντιστοιχεί σε μια μόνο περίπτωση επιλογής λιρών.

Ας πάρουμε το παράδειγμα που αναφέρω παραπάνω:
"αν οι 95 λίρες που πήραμε ζυγίζουν 939 γρ. τότε αν όλες ήταν γνήσιες, θα ζύγιζαν 950 γραμμάρια. Ζυγίζουν 939 γρ, άρα έχουμε πάρει 950-939=11 κάλπικες λίρες, οπότε τα σακιά με τις κάλπικες λίρες είναι αυτά από όπου πήραμε τις 4 και τις 7 λίρες καθώς και το σακί που δεν πήραμε λίρες. "
δ) Αφού τρία σακιά περιέχουν κάλπικες λίρες και εμείς δεν πήραμε λίρες από ένα σακί, ή θα υπάρχουν τρεις αριθμοί από τους που να έχουν άθροισμα ( για την περίπτωση που τρία από τα σακιά που επιλέξαμε έχουν κάλπικες λίρες) ή
θ υπάρχουν δύο αριθμοί από τους ας που να έχουν άθροισμα ( για την περίπτωση που δύο από τα σακιά που επιλέξαμε έχουν κάλπικες λίρες).
Από τα προηγούμενα μπορείς να συμπεράνεις τι είδους λίρες περιέχει το σακί που δεν χρησιμοποιήσαμε;
ε) Προσπάθησε να διαπιστώσεις τι είδους λίρες περιέχει κάθε σακί αν οι 95 λίρες ζυγίζουν 917 γραμμάρια
στ) Τι θα έλεγες αν οι οι 95 λίρες που ζυγίσαμε ζύγιζαν 927 γραμμάρια;

Για τα τελευταία ερωτήματα που έθεσες αν χρειαστεί θα επανέλθω αργότερα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Για το ε) κάλπικες λίρες έχουν τα σακιά που πήραμε τις 2, 7 και 24 λίρες και το στ) είναι αδύνατο (π.χ. κάναμε λάθος ζύγιση ή μας έδωσαν λάθος στοιχεία ή η ζυγαριά δεν λειτουργεί σωστά ...

[ΝΕΝΑ]

Ευχαριστώ !