Putnam 2013/A1

[Demetres]

Η άσκηση μπήκε στον φοιτητικό Διαγωνισμό Putnam αλλά δεν χρειάζεται ιδιαίτερες γνώσεις για να λυθεί οπότε την βάζω εδώ.

Υπενθυμίζουμε ότι ένα κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο με κορυφές και έδρες. Οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα.

Σε κάθε έδρα ενός κανονικού εικασοέδρου, γράφουμε έναν μη αρνητικό ακέραιο έτσι ώστε το άθροισμα των ακεραίων να ισούται με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο έδρες, με κοινή κορυφή οι οποίες έχουν γραμμένο τον ίδιο ακέραιο.

[nikkru]

Η άσκηση μπήκε στον φοιτητικό Διαγωνισμό Putnam αλλά δεν χρειάζεται ιδιαίτερες γνώσεις για να λυθεί οπότε την βάζω εδώ.

Υπενθυμίζουμε ότι ένα κανονικό εικοσάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο με κορυφές και έδρες. Οι έδρες είναι ισόπλευρα τρίγωνα.

Σε κάθε έδρα ενός κανονικού εικασοέδρου, γράφουμε έναν μη αρνητικό ακέραιο έτσι ώστε το άθροισμα των ακεραίων να ισούται με . Να δειχθεί ότι υπάρχουν δύο έδρες, με κοινή κορυφή οι οποίες έχουν γραμμένο τον ίδιο ακέραιο.

Αφού το άθροισμα των είκοσι μη αρνητικών ακεραίων ισούται με , κάποιος ακέραιος θα εμφανίζεται τουλάχιστον πέντε φορές. (Στην καλύτερη των περιπτώσεων,αν χρησιμοποιούσαμε τέσσερις το πολύ φορές κάθε ακέραιο με ελάχιστο άθροισμα, θα γράφαμε τέσσερις φορές καθένα από τους αριθμούς που έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από ).

Ας προσπαθήσουμε να γράψουμε τον αριθμό που εμφανίζεται πέντε τουλάχιστον φορές ώστε να μην υπάρχουν έδρες με κοινή κορυφή που να έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμένο πάνω τους.
Κάθε έδρα του κανονικού εικοσαέδρου έχει κοινή κορυφή με άλλες εννιά έδρες, οπότε γράφοντας τον αριθμό αυτόν σε μια έδρα( αυτή που είναι απέναντι από την ), μένουν άλλες δέκα έδρες που τις αρίθμησα από όπως φαίνονται στο σχήμα για να γράψουμε τον ίδιο αριθμό.

Κανονικό 20γωνο.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 2160 φορές

Ο αριθμός αυτός μπορεί να ξαναγραφεί μόνο στην έδρα , ή μόνο στις έδρες ( ή τις συμμετρικές τους ) ή μόνο στις έδρες (ή τις συμμετρικές τους).

Σε κάθε περίπτωση επομένως υπάρχουν δύο έδρες, με κοινή κορυφή οι οποίες έχουν γραμμένο τον ίδιο ακέραιο.

[Demetres]

Μπορούμε να τελειώσουμε την άσκηση και ως εξής, αποφεύγοντας να σχεδιάσουμε το εικοσάεδρο:

Αν έχουμε έδρες με τον ίδιο αριθμό, δύο από αυτές θα έχουν κοινή κορυφή αφού σε διαφορετική περίπτωση το εικοσάεδρο θα είχε τουλάχιστον κορυφές, άτοπο.