Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

melasjumper · #1

Έστω ενα πολυωνυμο τριτου βαθμου p(x)

στο $\mathbb{Q}[x]$ που εχει τρεις διαφορετικες αρρητες λυσεις r,s,t

. Αν για τις s,r

ισχυει

, με

ακεραιους τοτε το b^2 - 2b - 4ac - 7

ειναι τελειο τετραγωνο.

melasjumper · #2

αν εβρισκα πως μπορω να γραψω την ομορφη λυση μου σε latex και να την ανεβασω θα το εκανα

#3

Καλωσόρισες στο

. Για πρώτη φορά διόρθωσα εγώ την γραφή σε LaTeX. Για περισσότερες οδηγίες δες εδώ:

Πολλές πληροφορίες και οδηγίες υπάρχουν στον φάκελο Οδηγίες για γραφή με TeX και βασικές οδηγίες στο Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου.

Αν χρειαστείς περαιτέρω βοήθεια πες μας.

Να υπενθυμίσω επίσης ότι

Τα μηνύματα πρέπει να είναι γραμμένα στα Ελληνικά (αν παρατίθεται ξενόγλωσσο κείμενο πρέπει να συνοδεύεται από μετάφραση), ορθογραφημένα, και με τονιζόμενες τις λέξεις.

Οπότε σε παρακαλώ διόρθωσε τον τονισμό του αρχικού κειμένου.

melasjumper έγραψε:αν εβρισκα πως μπορω να γραψω την ομορφη λυση μου σε latex και να την ανεβασω θα το εκανα

Να θυμήσω τέλος ότι δεν βάζουμε αμέσως λύσεις στις ασκήσεις που προτείνουμε αλλά αφήνουμε κάποιον χρόνο στα άλλα μέλη να τις δοκιμάσουν. Υπάρχουν αρκετές άλυτες ασκήσεις στο φόρουμ (από τετριμμένες μέχρι εξαιρετικά δύσκολες) για τις οποίες όταν μάθεις να γράφεις σε LaTeX θα χαρούμε να δούμε τις λύσεις σου.

melasjumper · #4

και τωρα η λυση:

Αφού το p(x) έχει τρείς διαφορετικές λύσεις άρρητες είναι ανάγωγο.Το p(ax^2+bx+c)

έχει λύση το r άρα έχει και το s και το t.
Βγαίνει οτι οι τριάδες $\{r,s,t\}$ και $\{ar^2+br+c,as^2+bs+c,at^2+bt+c\}$ ταυτίζονται. Μπορούμε να ελέγξουμε οτι η περίπτωση at^2+bt+c=t

δεν γινεται :το p(x) δεν θα ήταν ανάγωγο.Βγαίνει οτι ar^2+br+c=s , as^2+bs+c=t , at^2+bt+c=r

.Έστω

με k,l,m ρητούς. Προσθέτουμε τις τρείς σχέσεις :
a(r^2+s^2+t^2)+b(r+s+t) +3c=r+s+t :a(k^2-2l)+(b-1)k+3c=0

σχέση (1)

Τώρα θα βγάλουμε κάποιες άλλες σχέσεις
as^2+bs+c=t : as^2+bs+c=k-r-s :as^2+(b+1)s+c-k+r=0

Οταν κάνουμε τις πράξεις θα βγεί αυτό:

a^3r^4+2a^2br^3+(2a^2c+ab^2+ab+a)r^2+(2abc+b^2+b+1)r+ac^2+bc+2c-k=0

Η σχέση ισχύει για r,s και t αρα το p(x) διαιρει το παραπάνω πολυώνυμο F(x).
Κοιτάζοντας μονο τους ορυς χ^4 και χ^3 συμπαιρένουμε οτι πρέπει
F(x)=(a^3x+ka^3+2a^2b)p(x)

κάνοντας τις πράξεις και κοιτάζοντας το συντελεστή του χ^2 βγάζουμε
a^3l=k^2a^3+2a^2bk+2a^2c+ab^2+ab+a

δηλαδη

αυτο το χρησιμοποιηούμε στην (1) για
να φυγει το l και να βγάλουμε τριώνυμο ως πρός κ:
ak^2+(b-1)k+3c-2al=0

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα που πρέπει
να είναι τελειο τετράγωνο ρητου (αρα και ακεραίου):
(3b+1)^2-4a(c+2(b^2+b+1)/a)=b^2-2b-4ac-7

Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

Re: Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

Re: Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

Re: Πρωτη δημοσιευση ενα μικρο china TST

Μέλη σε σύνδεση