Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν
Έστω η συνεχής συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
Για κάθε ισχύει .
Η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
β) Να προσδιορίσετε όλους τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης .
Αν, επιπλέον, δίνεται ότι , τότε:
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της , η οποία άγεται από το σημείο .
δ) i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτόμενή της και τον άξονα .
ii) Να προσδιορίσετε την ευθεία , , η οποία χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Φιλικά,
Μάριος
Επεξεργασία: Διόρθωση ερωτήματος.
Για κάθε ισχύει .
Η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
β) Να προσδιορίσετε όλους τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης .
Αν, επιπλέον, δίνεται ότι , τότε:
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της , η οποία άγεται από το σημείο .
δ) i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτόμενή της και τον άξονα .
ii) Να προσδιορίσετε την ευθεία , , η οποία χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Φιλικά,
Μάριος
Επεξεργασία: Διόρθωση ερωτήματος.
τελευταία επεξεργασία από M.S.Vovos σε Σάβ Σεπ 09, 2017 7:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν
M.S.Vovos έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 09, 2017 2:16 pmΈστω η συνεχής συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
Για κάθε ισχύει .
Η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
α) Να αποδείξετε ότι , για κάθε .
β) Να αποδείξετε ότι , .
γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της , η οποία άγεται από το σημείο .
δ) i) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της , την εφαπτόμενή της και τον άξονα .
ii) Να προσδιορίσετε την ευθεία , , η οποία χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία.
Φιλικά,
Μάριος
Γεια σου Μάριε,
(α) Από το δεδομένο έχουμε
Άρα πράγματι .
Σχετικό θέμα με το ίδιο όριο έχουμε δει εδώ .
(β) Είναι
Μπορούμε από δω να βγάλουμε με ασφάλεια ότι ; Είναι κάτι που δε βλέπω; Πώς θα αποκλείσω τη πιθανότητα η να μην είναι η ;
(γ) Έστω η εξίσωση της εφαπτομένης. Εφόσον άγεται από το θα είναι της μορφής
και αρκεί να βρούμε το . H εξίσωση παίρνει τη μορφή
και κατά συνέπεια πράγμα εντελώς λογικό αφού το είναι σημείο της γραφικής παράστασης. Συνεπώς η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η
(δ)
(i) Είναι γνωστό ότι η είναι κοίλη ως συνάρτηση αφού για παράδειγμα έχει γνήσια φθίνουσα παράγωγο. Συνεπώς το γράφημα της εφαπτομένης είναι πάνω από το γράφημα της συνάρτησης. Άρα το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της , του άξονα και του γραφήματος της εφαπτομένης είναι ίσο με
(ii) Έστω η ζητούμενη ευθεία. Τότε θα ισχύει:
Δηλαδή
και αρκεί να λύσουμε τη τελευταία εξίσωση η οποία λύνεται πώς ;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν
Για το πρόσημο ;
Για τις πράξεις , δίνω το σχήμα ....
Για τις πράξεις , δίνω το σχήμα ....
- Συνημμένα
-
- Integral.png (6.03 KiB) Προβλήθηκε 1695 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εύρεση τύπου - Εφαπτομένη - Εμβαδόν
Σωστά κ. Γιώργο. Τα αποτελέσματα είναι αυτά που βρήκατε.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες