Καλή σχολική χρονιά!

M.S.Vovos · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:(0,\pi ]\longrightarrow \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{\sin x}, &0<x<\pi \\\\ 2018, &x=\pi \end{matrix}\right.}$ (α) Να εξετάσετε αν η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

(β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ τέμνει την διχοτόμο του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.

(γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ σε κάθε σημείο του $\displaystyle{(0,\pi )}$ βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\displaystyle{\xi \in (0,\pi )}$ τέτοιο, ώστε:

$\displaystyle{\sin ^{2}\xi =\cos (\pi -\xi )}$
(δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , τον άξονα των τετμημένων και τις ευθείες $\displaystyle{x=\frac{\pi }{2}}$ και $\displaystyle{x=\frac{\pi }{3}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

#2

α) Στο $(0,\pi )$ είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών .
Ακόμα $\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sin x}=+\infty$ διότι $\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sin x=0$ και $\sin x>0$ για $x\in (0,\pi )$ .
Άρα $\underset{x\to {{\pi }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne f(\pi )=2018$ οπότε δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της .

β) Θέλουμε η εξίσωση $\dfrac{1}{\sin x}=x$ και ισοδύναμα η $x\sin x-1=0$ να έχει δύο ακριβώς λύσεις στο $(0,\pi )$
Έστω $g(x)=x\sin x-1$ που είναι συνεχής στο $[0,\pi ]$ ως γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων .
Ακόμα $g(0)=-1< 0,\,\,\,g\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}-1>0,\,\,\,\,g(\pi )=-1<0$ .
Επομένως $g(0)g\left( \frac{\pi }{2} \right)<0,\,\,\,g\left( \dfrac{\pi }{2} \right)g(\pi )<0$ , οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano
σε καθένα από τα διαστήματα $[0,\dfrac{\pi }{2}]$ , $[\dfrac{\pi }{2},\pi ]$ , άρα υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}}\in \left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,\,{{x}_{2}}\in \left( \frac{\pi }{2},\pi \right)$ ώστε $\displaystyle g({{x}_{1}})=0,\,\,\,\,g({{x}_{2}})=0$ (*).

Αν η εξίσωση $x\sin x-1=0$ και ισοδύναμα η $\sin x-\frac{1}{x}=0\Leftrightarrow t(x)=0$ είχε τρεις λύσεις στο $(0,\pi )$ , έστω τις $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$
τότε με εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην $\displaystyle t$ στα διαστήματα $\displaystyle [{{x}_{1}},{{x}_{2}}],[{{x}_{2}},{{x}_{3}}]$ , θα υπήρχαν
$\displaystyle {{r}_{1}},\,\,{{r}_{2}}$ ώστε $\displaystyle {t}'({{r}_{1}})={t}'(\,{{r}_{2}})=0$ ,
οπότε πάλι με εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στην $\displaystyle {t}'$ στο διάστημα $\displaystyle [{{r}_{1}},{{r}_{2}}]$ ,
θα υπήρχε κάποιο $\displaystyle s$ ώστε $\displaystyle {{t}'}'(s)=0$ $\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ .
Όμως ${t}'(x)={{\left( \sin x-\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}=\cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}},\,\,\,{{t}'}'(x)={{\left( \cos x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=-\sin x-\frac{2}{{{x}^{3}}}<0$ στο $(0,\pi )$ $\displaystyle (2)$
Από $\displaystyle (1),\,\,\,\,\,(2)$ προκύπτει άτοπο.
Άρα η εξίσωση έχει το πολύ δυο ρίζες και συνδυάζοντας με την (*) έχει ακριβώς δύο ρίζες .

γ) Η $\displaystyle \,\,f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,\pi )$ με $\displaystyle {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$ και η $\displaystyle \,\,{f}'$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,\pi )$ με
$\displaystyle {{f}'}'(x)=-{{\left( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0$ στο $(0,\pi )$ οπότε η $\displaystyle \,\,f$ είναι κυρτή
άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

σε κάθε σημείο του $(0,\pi )$ βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση
με εξαίρεση το σημείο επαφής τους .

${{\sin }^{2}}\xi =\cos (\pi -\xi )\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\xi =-\cos \xi \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\xi -\cos \xi -1=0 \Leftrightarrow \cos \xi =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Δεκτή τιμή η $\cos \xi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .
Επειδή αν $\xi \in (0,\pi )\Rightarrow \cos \xi \in (-1,1)$ και $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\in (-1,1)$ το ζητούμενο είναι άμεσο από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τη μονοτονία της συνάρτησης $\cos x$ .

δ) Στο $\left[ \dfrac{\pi }{3},\frac{\pi }{2} \right]$ είναι $\dfrac{1}{\sin x}>0$ οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι το
$E=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{1}{\sin x}}dx=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{\sin x}{{{\sin }^{2}}x}}dx=\int_{\pi /3}^{\pi /2}{\dfrac{\sin x}{1-{{\cos }^{2}}x}}dx$
Θέτουμε $\cos x=u\Rightarrow du=-\sin xdx$ . Για $x=\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow u=\dfrac{1}{2},\,\,\,x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow u=0\,\,,\,\,\,$ άρα
$E=\int_{1/2}^{0}{\dfrac{1}{(u-1)(u+1)}}\,\,du=\dfrac{1}{2}\int_{1/2}^{0}{\left( \dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1} \right)}\,\,du=\dfrac{1}{2}\left[ \ln |u-1|-\ln |u+1| \right]_{1/2}^{0}=\dfrac{1}{2}\left( -\ln \dfrac{1}{2}+\ln \dfrac{3}{2} \right)=\dfrac{\ln 3}{2}$

M.S.Vovos · #3

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 12, 2017 12:03 pm
γ) Η $\displaystyle \,\,f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,\pi )$ με $\displaystyle {f}'(x)={{\left( \frac{1}{\sin x} \right)}^{\prime }}=-\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}$ και η $\displaystyle \,\,{f}'$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle (0,\pi )$ με
$\displaystyle {{f}'}'(x)=-{{\left( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)}^{\prime }}=\frac{2{{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x}{{{\sin }^{3}}x}>0$ στο $(0,\pi )$ οπότε η $\displaystyle \,\,f$ είναι κυρτή
άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της σε κάθε σημείο του $(0,\pi )$ βρίσκεται «κάτω» από τη γραφική της παράσταση
με εξαίρεση το σημείο επαφής τους .

${{\sin }^{2}}\xi =\cos (\pi -\xi )\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\xi =-\cos \xi \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\xi -\cos \xi -1=0 \Leftrightarrow \cos \xi =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$
Δεκτή τιμή η $\cos \xi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ .
Επειδή αν $\xi \in (0,\pi )\Rightarrow \cos \xi \in (-1,1)$ και $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\in (-1,1)$ το ζητούμενο είναι άμεσο από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και τη μονοτονία της συνάρτησης $\cos x$ .

Καλό, σύντομο και αλγεβρικό!

Μια διαφορετική προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:

Από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε ότι η εξίσωση εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x}$ , $\displaystyle{x\in (0,\pi )}$ έχει ακριβώς δύο ρίζες έστω $\displaystyle{x_{1},x_{2}}$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας φυσικά, μπορούμε να υποθέσουμε πως $\displaystyle{x_{1}<x_{2}}$ . Τώρα, αν εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα $\displaystyle{\left [ x_{1},x_{2} \right ]}$ τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{\xi \in (0,\pi )}$ ώστε $\displaystyle{f'(\xi )=1\Leftrightarrow \sin ^{2}\xi =\cos \left ( \pi -\xi \right )}$ . Η μοναδικότητα έρχεται λόγω του ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, αφού η

είναι κυρτή.

Φιλικά,
Μάριος

#4

Αλλιώς για το ολοκλήρωμα στο δ), αναζητώντας μία αρχική συνάρτηση της

.

$\displaystyle \dfrac{1}{{\sin x}} = \dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}} = \dfrac{{\cos \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2\cos \dfrac{x}{2}}} = {\left( {\ln \left| {\sin \frac{x}{2}} \right|} \right)^\prime } - {\left( {\ln \left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|} \right)^\prime }$

$\displaystyle {\left( {\ln \left| {\tan \dfrac{x}{2}} \right|} \right)^\prime }$

$\displaystyle E = \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{\sin x}}dx} = \left[ {\ln \left| {\tan \dfrac{x}{2}} \right|} \right]_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \ln 1 - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{\ln 3}}{2}$

M.S.Vovos · #5

Στην ίδια συνάρτηση, να δώσω δύο ακόμα ερωτήματα που δεν συνδέονται μεταξύ τους:

(α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ η οποία άγεται από το σημείο $\displaystyle{\left (\frac{\pi }{2},1 \right )}$ .

(β) Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{x_{1},x_{2}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$ , $\displaystyle{0<x<\pi }$ τότε ισχύει $\displaystyle{\displaystyle \int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\textup{d}x>2}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Καλή σχολική χρονιά!

Καλή σχολική χρονιά!

Re: Καλή σχολική χρονιά!

Re: Καλή σχολική χρονιά!

Re: Καλή σχολική χρονιά!

Re: Καλή σχολική χρονιά!

Μέλη σε σύνδεση