IMC Stage-II 2016

#41

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Οι πρώτοι που έγραψε σχημάτισαν τον αριθμό . Αν του αφαιρέσει ψηφία, προκύπτει ο αριθμός .

Μπορεί να αφαιρέσει όποια

ψηφία θέλει.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #42

Demetres έγραψε:
Μπορεί να αφαιρέσει όποια ψηφία θέλει.

Τώρα μάλιστα!

Άρα, θα έχει τον αριθμό $\boxed{737192327}$

#43

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Μπορεί να αφαιρέσει όποια ψηφία θέλει.
Τώρα μάλιστα!

Άρα, θα αφαιρέσει τα μικρότερα σε αξία και θα έχει τον αριθμό $\boxed{235737937}$

Νικόλα, αν αντί δύο άσσων αφαιρέσεις τα δύο πρώτα ψηφία (23) ο αριθμός θα είναι 571... που είναι μεγαλύτερος

Κατερινόπουλος Νικόλας · #44

socrates έγραψε: Nικόλα, αν αντί δύο άσσων αφαιρέσεις τα δύο πρώτα ψηφία (23) ο αριθμός θα είναι 571... που είναι μεγαλύτερος

Το διόρθωσα...

#45

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
socrates έγραψε: Nικόλα, αν αντί δύο άσσων αφαιρέσεις τα δύο πρώτα ψηφία (23) ο αριθμός θα είναι 571... που είναι μεγαλύτερος
Το διόρθωσα...

Πρέπει να είσαι πιο προσεκτικός. Δεν είναι αυτή η σωστή απάντηση.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #46

Demetres έγραψε:
Πρέπει να είσαι πιο προσεκτικός. Δεν είναι αυτή η σωστή απάντηση.

Κύριε Δημήτρη, το έβαλα το βράδυ και δεν πρόλαβα να το διορθώσω! Το είδα μετά!!! Τώρα είναι σωστό!

#47

Demetres έγραψε:Άσκηση 12: Δίνονται τρεις διψήφιοι αριθμοί ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο να έχει τα ίδια ψηφίο με τον τρίτο αριθμό αλλά με την ανάποδη σειρά. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών αριθμών.

Επαναφορά!

#48

Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.

Filippos Athos · #49

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm
Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.

Ασκ.13. Απάντηση 72
ABBA + CDDC= XYZYX

άρα

επειδή για να πάρουμε πενταψήφιο αριθμό πρέπει να υπάρχει υπερπήδηση (για μονοψήφιους είναι μαχ. 1)
τότε
B+D=0

η

$B=(0,2,3,\ldots,9) D=(0,2,3,\ldots,9)$

&

δεν μπορούν να είναι 1 γιατί όπως είπαμε B+D=0

η

.
.
.

άρα έχουμε $9 \times 2$ (διαφορετηκοι

-ψήφιοι αρ.) =18

για

τότε επαναλαμβάνετε η διαδικασία με το

και

.
.

άρα και εδώ $9 \times2=18$ διαφορετικοί

-ψήφιοι αρ.

για Α=4 C=7

άλλο

διαφορετηκοι

-ψήφιοι αρ.
για Α=5 C=6

άλλο

διαφορετηκοι

-ψήφιοι αρ

$4\times18=72$

#50

Filippos Athos έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 09, 2017 1:47 pm

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm
Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.
Ασκ.13. Απαντηση 72

Σωστά. Να προσέξουμε όμως λίγο την γραφή σε LaTeX όπως απαιτεί ο κανονισμός μας. (Αυτήν την φορά την έφτιαξα.) Να προσέξουμε επίσης να γράφουμε και σωστά ελληνικά όπως πάλι απαιτεί ο κανονισμός μας. (Δεν το έφτιαξα. Σε παρακαλώ να το διορθώσεις. Τόσο την ορθογραφία όσο και τον τονισμό.)

Filippos Athos · #51

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 10, 2017 7:09 pm

Filippos Athos έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 09, 2017 1:47 pm

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm
Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.
Ασκ.13. Απαντηση 72
Σωστά. Να προσέξουμε όμως λίγο την γραφή σε LaTeX όπως απαιτεί ο κανονισμός μας. (Αυτήν την φορά την έφτιαξα.) Να προσέξουμε επίσης να γράφουμε και σωστά ελληνικά όπως πάλι απαιτεί ο κανονισμός μας. (Δεν το έφτιαξα. Σε παρακαλώ να το διορθώσεις. Τόσο την ορθογραφία όσο και τον τονισμό.)

Απολογούμαι και ευχαριστώ Κ. Δημήτρη. Είμαι καινούριος σε αυτή την ιστοσελίδα. Μπορείτε να μου πείτε πως κάνουμε γραφή σε LaTeX σας παρακαλώ;

Filippos Athos · #52

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm
Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.

Απάντηση 10
$\displaystyle{E\triangle AEC=E\triangle ACBE-E\triangle CBE$
$E\triangle ACBE=E\triangle AEB+E\triangle ABC$
$\displaystyle{E\triangle AEB=36\mathrm{cm}^2}$

$E\triangle ABC=\dfrac{5\cdot12}{2}=30\mathrm{cm}^2$
Αρά
$E\triangle ACBE=36+30=66\mathrm{cm}^2$
Επομένως
$E\triangle CBE=\dfrac{CB\cdot\upsilon}{2}$
οπού $\upsilon$ είναι ανάλογο ύψος για την βάση

(ευθεία την οποία φέρνουμε από το

κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς (σε αυτή την περίπτωση είναι στην προέκταση της πλευράς

)
Το μήκος του $\upsilon$ είναι μισό του

$\upsilon =6cm$
λόγο του ότι το $\triangle ABE$ είναι ισοσκελές τρίγωνο οπού από το

έχουμε ύψος = διάμεσος

$E\triangle CBE =\dfrac{5\cdot6}{2}=15\mathrm{cm}^2$
Και τελευταίο
$\boxed{E\triangle AEC=66-15=51\mathrm{cm}^2}$

#53

Filippos Athos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 15, 2017 10:41 pm

Απάντηση 10

<...>

Και τελευταίο
$\boxed{E\triangle AEC=66-15=51\mathrm{cm}^2}$

Πολύ ωραία!

Filippos Athos · #54

[quote=Demetres post_id=288910 time=1504602993 user_id=370]
Πρόσθεσα τις ασκήσεις 13-15. Έχουν επίσης μείνει αναπάντητες οι 10 και 12. Όταν λυθούν κάποιες από αυτές θα ανοίξω νέα ανάρτηση με τα θέματα του φετινού διαγωνισμού.
[/quote]

Άσκηση 12: Δίνονται τρεις διψήφιοι αριθμοί ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο να έχει τα ίδια ψηφίο με τον τρίτο αριθμό αλλά με την ανάποδη σειρά. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών αριθμών.

Εδώ χριάζομαι λίγη βοήθεια :helpsmilie:
Εχουμε $\displaystyle{AB,CD,EF}$ , οι διψήφιοι αριθμοί οι όποιοι δεν είναι απαραίτητα διαφορετικοί.
$\displaystyle{AB+CD=FE}$
$\displaystyle{AB+EF=DC}$
$\displaystyle{CD+EF=BA}$

(1) $\displaystyle{A,B,C,D,E,F\not\equiv 0}$
$\displaystyle{A+C+(1)=F\leqslant 9$
$A+E+(1)=D\leqslant 9$
$\displaystyle{C+E+(1)=B\leqslant 9$

Εδώ κόλλησα :ewpu:
Με δοκιμή έχω βρει 18+18+63=99

Ορέστης Λιγνός · #55

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm

Άσκηση 12: Δίνονται τρεις διψήφιοι αριθμοί ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο να έχει τα ίδια ψηφίο με τον τρίτο αριθμό αλλά με την ανάποδη σειρά. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών αριθμών.

Καλημέρα Δημήτρη. Καλημέρα Φίλιππε!

Έστω $\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}$ οι διψήφιοι αριθμοί. Είναι τότε

$\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{FE}$ (1).

$\overline{CD}+\overline{EF}=\overline{BA}$ (2).

$\overline{EF}+\overline{AB}=\overline{DC}$ (3).

Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2) παίρνουμε $\overline{AB}-\overline{EF}=\overline{EF}-\overline{BA} \Rightarrow A+B=E+F$ .

Όμοια, E+F=C+D

.

Έτσι, A+B=C+D=E+F

(4).

Από την (1) είναι $10A+B+10C+D=10E+F \Rightarrow$

9A+(A+B)+9C+(C+D)=9E+(E+F)

$\mathop \Rightarrow \limits^{(4)} 9A+9C+2(A+B)=9E+(A+B) \Rightarrow$

$A+B=9(E-A-C) \Rightarrow A+B \equiv 0 \pmod 9$ .

Επομένως, $A+B=C+D=E+F \equiv 0 \pmod 9$ .

Είναι $18=9+9 \geqslant A+B \geqslant 1+0=1>0$ , και αφού $9 \mid A+B$ έχουμε δύο περιπτώσεις :

i) A+B=C+D=E+F=18

. Τότε προφανώς A=B=C=D=E=F=9

, που δεν ικανοποιούν τις συνθήκες.

ii) A+B=C+D=E+F=9

. Τότε έχουμε ότι B=9-A, D=9-C, F=9-E

και με αντικατάσταση στην (1) και πράξεις θα προκύψει ότι F=A+C+1

.

Όμοια, B=C+E+1

και

.

Προσθέτοντας κατά μέλη τις τρεις τελευταίες σχέσεις παίρνουμε ότι B+D+F=2(A+C+E)+3

(5).

Θέτουμε B+D+F=x, A+C+E=y

, οπότε από την (4) είναι $x+y=A+B+C+D+E+F=27 \Rightarrow x+y=27$ (6).

Από (5), x=2y+3

(7).

Από (6), (7), y=8, x=19

.

Είναι τέλος $\overline{AB}+\overline{CD}+\overline{EF}=10(A+C+E)+(B+D+F)=10y+x= \boxed{99}$ .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #56

Demetres έγραψε:
Άσκηση 14: Όταν το διαιρεθεί με τους και , αφήνει υπόλοιπα και . Να βρεθεί ο ελάχιστους αριθμός με την ίδια ιδιότητα ο οποίος μπορεί να σχηματιστεί χρησιμοποιόντας τα ψηφία το πολύ μία φορά το κάθε ένα.

Μια επιστημονική : (Έχω και μπακαλίστικη...)

Έστω

ο αριθμός . Άρα , από εκφώνηση έχω :

$a\equiv 0(mod3)$

$a\equiv 1(mod5)$

Άρα , έχω a=3k , a=5l+1

Από αυτό , παίρνω την εξίσωση $3k=5l+1\Rightarrow 3k-5l=1$ .

Επίσης , GCD(3,5)=1

. Προφανής λύση (k,l)=(2,1)

.

Από γνωστό θεώρημα , παίρνω k=2+5t, l=1-3t

.

Άρα , $a=3(2+5t)\Rightarrow \boxed{a=15t+6}$ .

Κάνουμε το ίδιο και για a=15t+6, a=11s+3

και βρίσκουμε ότι ο ελάχιστος αριθμός είναι $\boxed{a=201}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #57

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Απρ 18, 2017 8:32 pm

Άσκηση 15: Κάθε μαθητής γράφει κάτω έξι όχι απαραίτητα διαφορετικούς θετικούς ακεραίους ώστε το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή ίσο του αθροίσματός τους, και το άθροισμά τους είναι μικρότερο ή ίσο από . Αν δεν υπάρχουν δύο μαθητές που έγραψαν κάτω ακριβώς τους ίδιους έξι αριθμούς, να βρεθεί το μέγιστο δυνατό πλήθος των μαθητών.

Η απάντηση είναι

.

Θα πρέπει σε αυτούς τους αριθμούς που γράφει κάθε παιδί να υπάρχει από τρεις φορές και πάνω ο αριθμός ένα . Επίσης , το γινόμενο των υπόλοιπων αριθμών θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο του δώδεκα . Αυτοί οι συνδυασμοί αριθμών είναι :

$\displaystyle{111111, 111112, 111113, 111114, 111115, 111116, 111117, 111118, 111119,}$ $\displaystyle{111122, 111123, 111124, 111125, 111126, 111222, 111134, 111223, 111133}$

#58

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2017 3:59 pm

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Απρ 18, 2017 8:32 pm

Άσκηση 15: Κάθε μαθητής γράφει κάτω έξι όχι απαραίτητα διαφορετικούς θετικούς ακεραίους ώστε το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή ίσο του αθροίσματός τους, και το άθροισμά τους είναι μικρότερο ή ίσο από . Αν δεν υπάρχουν δύο μαθητές που έγραψαν κάτω ακριβώς τους ίδιους έξι αριθμούς, να βρεθεί το μέγιστο δυνατό πλήθος των μαθητών.
Η απάντηση είναι .

Θα πρέπει σε αυτούς τους αριθμούς που γράφει κάθε παιδί να υπάρχει από τρεις φορές και πάνω ο αριθμός ένα . Επίσης , το γινόμενο των υπόλοιπων αριθμών θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο του δώδεκα . Αυτοί οι συνδυασμοί αριθμών είναι :

$\displaystyle{111111, 111112, 111113, 111114, 111115, 111116, 111117, 111118, 111119,}$ $\displaystyle{111122, 111123, 111124, 111125, 111126, 111222, 111134, 111223, 111133}$

Τα

πρέπει να απορριφθούν. Η τελική απάντηση είναι

.

#59

Filippos Athos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2017 11:23 am
Εδώ κόλλησα
Με δοκιμή έχω βρει

Για τον διαγωνισμό, βέβαια, αυτό είναι αρκετό για να αποφανθούμε ότι η σωστή απάντηση είναι το

.

#60

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 17, 2017 12:21 pm

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 05, 2017 12:16 pm

Άσκηση 12: Δίνονται τρεις διψήφιοι αριθμοί ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο να έχει τα ίδια ψηφίο με τον τρίτο αριθμό αλλά με την ανάποδη σειρά. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών αριθμών.
Καλημέρα Δημήτρη. Καλημέρα Φίλιππε!

Έστω $\overline{AB}, \overline{CD}, \overline{EF}$ οι διψήφιοι αριθμοί.

Ας το κάνω λίγο διαφορετικά. Έστω

το άθροισμα. Έχω

$\displaystyle S = \overline{AB}+\overline{CD}+ \overline{EF} = \overline{FE} + \overline{EF} = 11(E+F)$

Επίσης

$\displaystyle (\overline{AB}+\overline{CD}+ \overline{EF}) - (\overline{BA}+\overline{DC}+ \overline{FE}) = 9(A-B+C-D+E-F)$

Όμως

$\displaystyle \begin{aligned} &\phantom{\phantom{}=\phantom{}} (\overline{AB}+\overline{CD}+ \overline{EF}) - (\overline{BA}+\overline{DC}+ \overline{FE}) \\ &= (\overline{AB}+\overline{CD}+ \overline{EF}) - (\overline{CD}+ \overline{EF} + \overline{AB}+\overline{EF} + \overline{AB}+\overline{CD}) \\ &= -S \end{aligned}$

Άρα το

είναι πολλαπλάσιο του

. Επειδή

πρέπει το

να είναι πολλαπλάσιο του

. Άρα

ή

. Το δεύτερο απορρίπτεται επειδή τότε θα είχαμε E=F=9

και $\overline{CD}+ \overline{EF} > 100 > \overline{BA}$ .

Άρα E+F=9

και

.

IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Re: IMC Stage-II 2016

Μέλη σε σύνδεση