Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#701

KARKAR έγραψε:Άσκηση 247

Άσκηση 247.pngΑπό τις κορυφές , ορθογωνίου , φέρουμε $BB' , DD' \perp AC$ .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

β) Για ποια τιμή του λόγου $\dfrac{b}{a} , (b<a)$ , είναι $\dfrac{(BB'DD')}{(ABCD)}=\dfrac{3}{5}$ ;

γ) Βρείτε ένα ορθογώνιο , όπου τα , είναι όλα ακέραιοι .

a) Ας είναι $E = (ABCD) = ab\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T = (BB'C)$ . Θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} {b^2} = x\sqrt {{a^2} + {b^2}} \hfill \\ (BB'DD') = E - 4T \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^4} = {x^2}({a^2} + {b^2}) \hfill \\ (BB'DD') = E - 4T \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\,\,(1) \hfill \\ (BB'DD') = E - 4T\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Αλλά από την ομοιότητα των $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle B'BC$ έχω:

$\dfrac{T}{{(ABC)}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow 4T = 2E\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\,\,(3)$ . Έτσι η (2)

λόγω των $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)$ δίδει :

$\boxed{(BB'DD') = E\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}$ .

: Συλογή ορθογωνίων 247.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 2460 φορές

b) Αν τώρα $\dfrac{{(BB'DD')}}{E} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{3}{5}$ και αν θέσω ${b^2} = u{a^2}$ θα έχω :

$\boxed{u = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{1}{2}}$ .

c) Τέλος με $a,b \in {\mathbb{N}^ * }\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a > b$ θα είναι και (BB'DD')

ακέραιος, αν η ποσότητα

$\boxed{k = E\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}$ είναι ακέραιος . αν θέσω a = by

έχω $\boxed{k = {b^2}\frac{{y(y + 1)(y - 1)}}{{{y^2} + 1}}}$ έτσι

π.χ.
1. με y = 2

έχω $k = {b^2}\dfrac{6}{5}$ κι αν επιλέξω b = 5

θα είναι

2. με

έχω $k = {b^2}\dfrac{{12}}{5}$ και πάλι με b = 5

θα έχω

3. με

έχω $k = {b^2}\dfrac{{60}}{{17}}$ τώρα με b = 17

έχω

κ. λ. π.

KARKAR · #702

Άσκηση 248

: Άσκηση 248.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 2231 φορές

Στο $12\times 10$ ορθογώνιο ABCD

, το

είναι το μέσο της

. Σχεδιάζουμε

κύκλο (K)

εφαπτόμενο των AB , DM

στα σημεία S,P

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το κέντρο

, κινείται σε ευθεία , της οποίας εντοπίστε τις τομές της

Q,T

με τις

. β) Υπολογίστε τώρα τη διαφορά (SBTK)-(PMTK)

#703

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 20, 2017 1:32 pm
Άσκηση 248

Άσκηση 248.pngΣτο $12\times 10$ ορθογώνιο , το είναι το μέσο της . Σχεδιάζουμε

κύκλο εφαπτόμενο των στα σημεία αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το κέντρο , κινείται σε ευθεία , της οποίας εντοπίστε τις τομές της

με τις . β) Υπολογίστε τώρα τη διαφορά

: Ορθογώνια 248.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 2223 φορές

α) Αν οι

τέμνονται στο

το κέντρο του κύκλου κινείται προφανώς στη διχοτόμο της $M\widehat HB$ και τα σημεία T, Q

προσδιορίζονται από τους λόγους, $\displaystyle \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{TM}}{{TB}} = \frac{{13}}{{12}}$

β) $\displaystyle \frac{{(MTH)}}{{(BTH)}} = \frac{{13}}{{12}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(BTH) = \frac{{12}}{{13}}(MTH)}$ και $\displaystyle (MTH) = \frac{{13}}{{25}}(MBH) = \frac{{13}}{{25}} \cdot 30 \Leftrightarrow$ $\boxed{(MTH) = \frac{{78}}{5}}$

Θέτω (HPK)=(HSK)=(E)

και είναι $\displaystyle (SBTK) - (PMTK) = \left( {(E) - (BTH)} \right) - \left( {(E) - (MTH)} \right) =$

$\displaystyle \frac{{(MTH)}}{{13}} \Leftrightarrow$ $\boxed{(SBTK) - (PMTK) =\dfrac{6}{5}}$

KARKAR · #704

Άσκηση 249

: ορθογώνιο.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 2031 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD

, διαστάσεων $a\times b$ , παίρνουμε σημείο

της πλευράς

, έτσι

ώστε AS=d

. Οι

τέμνονται στο

και έστω

η προβολή του

στην

.

Δείξτε ότι η θέση του

είναι ανεξάρτητη από το

, υπολογίζοντας το AT = x

#705

ΑΣΚΗΣΗ 249.

Δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το

, για σταθερά τα a = AB = CD

και

και μεταβλητό το b = BC = AD

.

$\bullet$ Πράγματι, ας είναι για παράδειγμα $E,\ Z$ , σημεία επί των προεκτάσεων των ευθειών $BC,\ AD$ , προς το μέρος των $C,\ D$ , αντιστοίχως και έστω το σημείο $Q\equiv AE\cap ZS$ .

Αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία $T,\ P,\ Q$ , είναι συνευθειακά.

$\bullet$ Αυτό όμως προκύπτει άμεσα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, από τα προοπτικά τρίγωνα $\vartriangle ACE,\ \vartriangle SDZ$ , λόγω $AS\cap CD\cap EZ\equiv \infty$ , από $AB\parallel CD\parallel EZ$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μία άλλη απόδειξη, ως άμεση εφαρμογή της θεωρίας Περί Διπλού λόγου, αφήνεται στον ( ενδιαφερόμενο για εξάσκηση ) αναγνώστη.

#706

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 08, 2018 2:02 pm
Άσκηση 249

ορθογώνιο.pngΣε ορθογώνιο , διαστάσεων $a\times b$ , παίρνουμε σημείο της πλευράς , έτσι

ώστε . Οι τέμνονται στο και έστω η προβολή του στην .

Δείξτε ότι η θέση του είναι ανεξάρτητη από το , υπολογίζοντας το

$\displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{{SP}}{{PD}} = \frac{{SA}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{d - x}}{x} = \frac{d}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{ad}{a+d}}$

KARKAR · #707

Άσκηση 250

: 250.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 1984 φορές

Ορθογωνίου τριγώνου AZE

, η κορυφή

κινείται στην πλευρά

ορθογωνίου ABCD

, ενώ η

στην προέκταση της

. Φέρουμε

το ύψος

του τριγώνου . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου

.

#708

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 13, 2018 9:21 am
Άσκηση 250
250.png Ορθογωνίου τριγώνου , η κορυφή κινείται στην πλευρά

ορθογωνίου , ενώ η στην προέκταση της . Φέρουμε

το ύψος του τριγώνου . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου .

Τα τετράπλευρα $ASZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASBE$ είναι εγγράψιμα , αφού για το μεν πρώτο το άθροισμα των γωνιών του στα σημεία D,S

είναι $180^\circ$ ,

Ενώ στο δεύτερο οι κορυφές S,B

βλέπουν την απέναντι πλευρά υπο ίσες ( και μάλιστα ορθές) γωνίες.

Επειδή $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}}$ ως συμπληρώματα της ίδιας γωνίας $\widehat {BAZ}$ και λόγω των

εγγραψίμων πιο πάνω τετραπλεύρων είναι

: Συλλογή ορθογωνίων_250.png (23.28 KiB) Προβλήθηκε 1967 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat \theta + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = 90^\circ$ άρα τα σημεία: D,S,B

είναι

συνευθειακά και ο γ. τ. που ζητάμε είναι η διαγώνιος

.

KARKAR · #709

Άσκηση 251

: 251.png (10.17 KiB) Προβλήθηκε 1730 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

διαστάσεων $a\times b$ , το

είναι το μέσο της

.

Φέρουμε ευθεία κάθετη στο

στο

και από το

, τμήμα

κάθετο σ' αυτήν την ευθεία . Υπολογίστε το τμήμα

.

#710

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #711

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Απρ 20, 2018 8:25 pm
Άσκηση 251

251.pngΣτο ορθογώνιο διαστάσεων $a\times b$ , το είναι το μέσο της .

Φέρουμε ευθεία κάθετη στο στο και από το , τμήμα

κάθετο σ' αυτήν την ευθεία . Υπολογίστε το τμήμα .

Καλημέρα
Εστω ότι οι ευθείες AC,DS

τέμνονται στο σημείο

,ομοίως οι ευθείες AS,MC

τέμνονται στο σημείο

και η προέκταση της πλευράς

τέμνει την

,στο σημείο

Τότε το τετράπλευρο DCMK

είναι παραλληλόγραμο και $KA=AM=MB=\dfrac{a}{2}$
άρα το σημέιο

ανήκει στην μεσοπαράλληλη των SG,CF

Συνεπώς $AS=AF=AC=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Γιάννης

KARKAR · #712

Άσκηση 252

: 253.png (8.21 KiB) Προβλήθηκε 1539 φορές

Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο ABCD

, για σημείο

της πλευράς

, είναι :

$\widehat{DAS}=\widehat{CAB}$ . Αν

το μέσο της

και

, υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{b}{a}$

#713

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 8:10 pm
Άσκηση 252253.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , για σημείο της πλευράς , είναι :

$\widehat{DAS}=\widehat{CAB}$ . Αν το μέσο της και , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{b}{a}$

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $BAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAS$ έχω : $\dfrac{{DS}}{{BC}} = \dfrac{{DA}}{{AB}}\, = \dfrac{{AS}}{{AC}}\,\,(1)$

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο (S,SA)

έχω : $CO \cdot CA = C{S^2} - S{A^2}\,\,\,(2)$ .

: Ορθογώνια 252.png (17.45 KiB) Προβλήθηκε 1529 φορές

Η

δίδει $\boxed{DS = \frac{{{b^2}}}{a}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{AS = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\,\,\,\,\,(3)$ . Η (2)

γράφεται :

$2C{O^2} = C{S^2} - S{A^2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}C{A^2} = C{S^2} - S{A^2}$ που λόγω των (3)

γίνεται :

$\dfrac{1}{2}({a^2} + b) = {\left( {a - \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)^2} - \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}({a^2} + {b^2})$ και αν θέσω $b = ax\,\,$ θα προκύψει η εξίσωση

$\dfrac{1}{2}(1 + {x^2}) = {(1 - {x^2})^2} - {x^2}(1 + {x^2})$ που δίνει $\boxed{{x^2} = \frac{1}{7}} \Rightarrow \boxed{\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #714

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 8:10 pm
Άσκηση 252253.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , για σημείο της πλευράς , είναι :

$\widehat{DAS}=\widehat{CAB}$ . Αν το μέσο της και , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{b}{a}$

Με $\displaystyle E$ συμμετρικό του $\displaystyle A$ ως προς $\displaystyle S$ θα είναι $\displaystyle EO \bot AC$

Λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών θα είναι και οι κόκκινες ίσες,συνεπώς

$\displaystyle EF = ES = SA \Rightarrow \vartriangle DSA = \vartriangle ESZ \Rightarrow \left( {ESF} \right) = 2\left( {DSA} \right)$

$\displaystyle \vartriangle FCO \simeq \vartriangle DSA \Rightarrow \frac{{\left( {FCO} \right)}}{{\left( {DSA} \right)}} = {\left( {\frac{{\frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}}}{b}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{4{b^2}}}$

Αλλά $\displaystyle \frac{{\left( {FCO} \right)}}{{\left( {DSA} \right)}} = \frac{{\left( {ESF} \right)}}{{\left( {DSA} \right)}} = 2$ άρα $\displaystyle \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{4{b^2}}} = 2 \Rightarrow \boxed{\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}}$

: a.252.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 1521 φορές

#715

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 8:10 pm
Άσκηση 252253.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , για σημείο της πλευράς , είναι :

$\widehat{DAS}=\widehat{CAB}$ . Αν το μέσο της και , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{b}{a}$

: Ορθογώνια.252.png (10.66 KiB) Προβλήθηκε 1516 φορές

Έστω

το μέσο του OA.

Από τα όμοια τρίγωνα ADS, ABC

είναι $\boxed{DS=\frac{b^2}{a}}$ και από το εγγράψιμο AMSD,

$\displaystyle CS \cdot CD = CM \cdot CA \Leftrightarrow aCS = \frac{3}{4}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{CS = \frac{3}{{4a}}({a^2} + {b^2})}$

$\displaystyle DS + CS = a \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{a}=\frac{\sqrt 7}{7}}$

STOPJOHN · #716

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 28, 2018 8:10 pm
Άσκηση 252253.png Στο διαστάσεων $a \times b$ ορθογώνιο , για σημείο της πλευράς , είναι :

$\widehat{DAS}=\widehat{CAB}$ . Αν το μέσο της και , υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{b}{a}$

Εστω ότι

Απο το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο $AST,y^{2}+(a-x)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}+2y^{2},(2),$

Στο τρίγωνο $ADS,y^{2}=x^{2}+b^{2},(1)$ , Π.Θ $(1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{a^{2}-3b^{2}}{4a}$
Απο τα τρίγωνα $ABS,ABC,\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^{2}-3b^{2}}{4ab}\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{7}}{7}$

KARKAR · #717

Άσκηση 253

: 253.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές

Η κάθετη στο άκρο

της διαγωνίου

, ορθογωνίου ABCD

, τέμνει τις προεκτάσεις

των AB,AD

στα σημεία S,T

αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το

προς την άλλη

διαγώνιο

, διέρχεται από το μέσο

του τμήματος

.

#718

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 9:55 am
Άσκηση 253

253.pngΗ κάθετη στο άκρο της διαγωνίου , ορθογωνίου , τέμνει τις προεκτάσεις

των στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το προς την άλλη

διαγώνιο , διέρχεται από το μέσο του τμήματος .

$\displaystyle \widehat S = C\widehat AD = C\widehat BD = B\widehat AM,$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#719

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 9:55 am
Άσκηση 253

253.pngΗ κάθετη στο άκρο της διαγωνίου , ορθογωνίου , τέμνει τις προεκτάσεις

των στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι η κάθετη από το προς την άλλη

διαγώνιο , διέρχεται από το μέσο του τμήματος .

: 253 στα ορθογώνια.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

$\widehat S = \widehat \omega$ , γιατί έχουν κάθετες πλευρές και είναι οξείες

$= \widehat {{\theta _1}}$ , λόγω του ορθογωνίου ABCD

$= \widehat {{\theta _2}}$ , πάλι πλευρές κάθετες και είναι οξείες

Έτσι $\widehat S = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow MA = MS$ . Η μεσοκάθετος στο ισοσκελές τρίγωνο MAS

θα

διέρχεται από το μέσο του

κι αφού θα είναι παράλληλη στην

και το

θα είναι μέσο του ST.

#720

Άσκηση 254

: Ορθογώνια 254.png (11 KiB) Προβλήθηκε 1134 φορές

Σε ορθογώνιο $ABCD (AB\ne BC)$ κέντρου

η κάθετη από το

στην

τέμνει τις AB, BC

στα

αντίστοιχα. Αν M, N

είναι τα μέσα των CD, AD,

να δείξετε ότι $FM\bot NE.$

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση