Τριγάμμα και παραγοντικά

#1

Αν η συνάρτηση Τριγάμμα ορίζεται ως: $\displaystyle {\psi _1}\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{{{\left( {k + z} \right)}^2}}}}$ , τότε να αποδειγχθούν οι σχέσεις:

α) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{17 \cdot {\pi ^4}}}{{1944}}$ ,

β) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{2^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{7 \cdot {\pi ^4}}}{{384}}$ ,

γ) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{3^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{7 \cdot {\pi ^4}}}{{243}}$

δ) $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{4^n}{\psi _1}\left( n \right)}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}} = \frac{{{\pi ^4}}}{{24}}$

Tolaso J Kos · #2

Εύκολα βλέπουμε ότι:
$\displaystyle{\zeta(2) - \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}= \psi^{(1)}(n)}$ Επίσης από το σύνδεσμο εδώ έχουμε τους τύπους:

$\displaystyle{2 \arcsin^2 \left ( \frac{x}{2} \right ) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( 2x \right )^{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$
$\displaystyle{\frac{2 \arcsin^4 \left ( \frac{x}{2} \right )}{3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n} \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$

Τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= 2 \zeta(2) \arcsin^2 \left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac{2 \arcsin^4 \left ( \frac{1}{2} \right )}{3}\\ &= \frac{\pi^4}{108} -\frac{\pi^4}{1944} \\ &= \frac{17 \pi^4}{1944} \end{aligned}}$ Επίσης.
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{48} - \frac{\pi^4}{384} \\ &= \frac{7 \pi^4}{384} \end{aligned}}$ Και παρόμοια οι υπόλοιπες ... Κάποια άλλη στιγμή όμως ... !!

#3

Έτσι Τόλη .. όλα δένουν !!!

Tolaso J Kos · #4

Συνεχίζουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{27} - \frac{2\pi^4}{243}\\ &= \frac{7 \pi^4}{243} \end{aligned}}$ και τέλος
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \left ( \zeta(2) - \mathcal{H}_{n-1}^{(2)} \right )}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= \zeta(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{n^2 \binom{2n}{n}} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}\\ &= \frac{\pi^4}{12} -\frac{\pi^4}{24} \\ &= \frac{\pi^4}{24} \end{aligned}}$

Tolaso J Kos · #5

Και ένα αποτέλεσμα που προέκυψε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{17 \pi^4}{1944} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\psi^{(1)}(n)}{n^2 \binom{2n}{n}} \\ &= -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}} \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1} \log x}{1-x}\, {\rm d}x\\ &= -\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x\left ( 1-x \right )} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2 \binom{2n}{n}} \, {\rm d}x\\ &=-2 \bigintss_{0}^{1} \frac{\log x \; \bigg ( \arcsin \left ( \frac{\sqrt{x}}{2} \right ) \bigg )^2}{x \left ( 1-x \right )}\, {\rm d}x \end{aligned}}$

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 3:00 pm
Και ένα αποτέλεσμα που προέκυψε: $\displaystyle{\frac{17 \pi^4}{1944} &= -2 \bigintss_{0}^{1} \frac{\log x \; \bigg ( \arcsin \left ( \frac{\sqrt{x}}{2} \right ) \bigg )^2}{x \left ( 1-x \right )}\, {\rm d}x }$

Σε κάτι αντίστοιχο είχα φτάσει με την Fibonacci που έστειλες, τρόμαξα (ολοκληρωτικά) κι ύστερα αναζήτησα λύση με δυναμοσειρές !!!

Προκύπτουν κι άλλα .. βέβαια .. εξίσου σοκαριστικά.

Τριγάμμα και παραγοντικά

Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Re: Τριγάμμα και παραγοντικά

Μέλη σε σύνδεση