Το όριο της λύσης

#1

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ με $\displaystyle a,b,c\in R$ και $\displaystyle b\ne 0$ , η οποία έχει λύση στο $\displaystyle R$ .
Έστω $\displaystyle r(a)$ η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)$

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 10:14 am
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ με $\displaystyle a,b,c\in R$ και $\displaystyle b\ne 0$ , η οποία έχει λύση στο $\displaystyle R$ .
Έστω $\displaystyle r(a)$ η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)$

Καλησπέρα Γιώργη. Μια προσπάθεια...
Κατ' αρχάς πρέπει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow b^2-4ac\geq 0$ .
α) Για b<0

η μικρότερη κατά απόλυτη τιμή ρίζα είναι η $r(a)=\dfrac{b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ .
Στην περίπτωση αυτή έχουμε: $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{b+ \sqrt{b^2 -4ac} }{2a} = \lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{2c}{b - \sqrt{b^2 -4ac}} = \dfrac {2c}{ b -|b|} = -\dfrac {c}{b}$ , αφού b<0

.

β) Για b>0

η μικρότερη κατά απόλυτη τιμή ρίζα είναι η $r(a)=\dfrac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ .
Στην περίπτωση αυτή έχουμε: $\displaystyle{\lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \lim_{a\rightarrow 0}}\dfrac{-2c}{\sqrt{b^2 -4ac}+b} = \dfrac {-2c}{|b|+b} = - \dfrac {c}{b}$ , αφού b>0

.

Διόρθωσα το α) μετά από την σωστή παρέμβαση του Γιώργη.
Επίσης όπως πολύ σωστά μου επεσήμανε έπρεπε να διακρίνω και τρίτη περίπτωση a=0

.
Τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση, την $x=-\dfrac{c}{b}$ .
Φυσικά το όριο είναι πάλι το ίδιο.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

exdx έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 22, 2017 10:14 am
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ με $\displaystyle a,b,c\in R$ και $\displaystyle b\ne 0$ , η οποία έχει λύση στο $\displaystyle R$ .
Έστω $\displaystyle r(a)$ η κατ΄απόλυτη τιμή μικρότερη λύση της εξίσωσης . Να υπολογίσετε το $\displaystyle \underset{a\to 0}{\mathop{\lim }}\,r(a)$

Αλλιώς.

Αν c=0

τότε η μικρή ρίζα είναι η

και δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε, οπότε ας υποθέσουμε $c\ne 0$ .

Αφού $\displaystyle { |r_1|+|r_2|\ge |r_1+r_2|=\frac {|b|}{|a|} \to + \infty$ , έπεται ότι η πιο μεγάλη κατ' απόλυτη τιμή ρίζα (έστω η r_2

) ικανοποιεί $|r_2| \to \infty$ . Άρα

$\displaystyle { \frac {1}{r_1} =\left ( \frac {1}{r_1} + \frac {1}{r_2} \right ) - \frac {1}{r_2} = \frac {-b}{c} - \frac {1}{r_2} \to -\frac {b}{c}+ 0$ .

Έπεται ότι $\displaystyle { r_1 \to -\frac {c}{b}$ .

Το όριο της λύσης

Το όριο της λύσης

Re: Το όριο της λύσης

Re: Το όριο της λύσης

Μέλη σε σύνδεση