Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

#1

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Για το σημείο $\displaystyle M(x,y)$ του καρτεσιανού επιπέδου ισχύει η σχέση $\displaystyle {{y}^{2}}=4x$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου
β. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου που βρίσκεται στο 1ο και 4ο τεταρτημόριο
γ. Η σχέση παριστάνει μια συνάρτηση .
δ. Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle y\ge 0$ , τότε η σχέση αυτή παριστάνει μια συνάρτηση .

2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ ορισμένη και γνησίως μονότονη στο $\displaystyle R$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση είναι πάντα $\displaystyle 1-1$
β. Η συνάρτηση έχει πάντα ολικά ακρότατα
γ. Η συνάρτηση πάντα αντιστρέφεται
δ. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$ έχει πάντα το πολύ μια λύση

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ ορισμένη στο $\displaystyle R$ , η οποία είναι $\displaystyle 1-1$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι πάντα γνησίως μονότονη στο $\displaystyle R$
β. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$ έχει το πολύ μια λύση
γ. Κάθε ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=c$ τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε ένα το πολύ σημείο
δ. Η συνάρτηση αντιστρέφεται

4. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g:R \to (0, + \infty ),$ , όπου η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα και η $\displaystyle g$ είναι γνησίως φθίνουσα . Τότε : ( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση $\displaystyle t=f+g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$
β. Η συνάρτηση $\displaystyle t=\frac{f}{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$
γ. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ έχει ακριβώς μια λύση στο $\displaystyle R$
δ. Η συνάρτηση $\displaystyle t=f\circ g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$

5. Για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ , ορισμένη στο $\displaystyle R$ ισχύει $\displaystyle a\le f(x)\le b$ για κάθε $\displaystyle x\in R$ , όπου $\displaystyle a,b\in R$ . Τότε :
( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση έχει πάντα ολικά ακρότατα .
β. Αν $\displaystyle c\in [a,b]$ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle {{x}_{0}}\in R$ ώστε $\displaystyle f({{x}_{0}})=c$
γ. Η συνάρτηση έχει πάντα σύνολο τιμών το $\displaystyle [a,b]$ .
δ. Αν $\displaystyle k\in (-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$ , η εξίσωση $\displaystyle f(x)=k$ είναι αδύνατη .

6. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το $\displaystyle R$ οι οποίες είναι αντίστροφες .
( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ είναι πάντα αδύνατη .
β. Οι εξισώσεις $\displaystyle f(x)=x$ και $\displaystyle g(x)=x$ είναι πάντα ισοδύναμες
γ. Οι εξισώσεις $\displaystyle f(x)=x$ και $\displaystyle f(x)=g(x)$ είναι πάντα ισοδύναμες
δ. Αν η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ έχει λύση $\displaystyle {{x}_{0}}$ , τότε το σημείο $\displaystyle M({{x}_{0}},f({{x}_{0}})$ ανήκει πάντα στην ευθεία $\displaystyle y=x$

Υ.Γ. Δείτε αν ξέφυγε κάτι ...

Edit : Διορθώθηκε η 4 (βλέπε σχόλια στις επόμενες δημοσιεύσεις )

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: Τρί Οκτ 10, 2017 12:09 pm Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Για το σημείο $\displaystyle M(x,y)$ του καρτεσιανού επιπέδου ισχύει η σχέση $\displaystyle {{y}^{2}}=4x$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου
β. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου που βρίσκεται στο 1ο και 4ο τεταρτημόριο
γ. Η σχέση παριστάνει μια συνάρτηση .
δ. Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle y\ge 0$ , τότε η σχέση αυτή παριστάνει μια συνάρτηση .

2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ ορισμένη και γνησίως μονότονη στο $\displaystyle R$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση είναι πάντα $\displaystyle 1-1$
β. Η συνάρτηση έχει πάντα ολικά ακρότατα
γ. Η συνάρτηση πάντα αντιστρέφεται
δ. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$ έχει πάντα το πολύ μια λύση

3. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f$ ορισμένη στο $\displaystyle R$ , η οποία είναι $\displaystyle 1-1$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση $\displaystyle f$ είναι πάντα γνησίως μονότονη στο $\displaystyle R$
β. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$ έχει το πολύ μια λύση
γ. Κάθε ευθεία με εξίσωση $\displaystyle y=c$ τέμνει τη $\displaystyle {{C}_{f}}$ σε ένα το πολύ σημείο
δ. Η συνάρτηση αντιστρέφεται

4. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f:R\to R$ , $\displaystyle g:R\to (0,+\infty )$ , όπου η $\displaystyle f$ είναι γνησίως αύξουσα και η $\displaystyle g$ είναι γνησίως φθίνουσα . Τότε : ( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση $\displaystyle t=f+g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$
β. Η συνάρτηση $\displaystyle t=\frac{f}{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$
γ. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ έχει ακριβώς μια λύση στο $\displaystyle R$
δ. Η συνάρτηση $\displaystyle t=f\circ g$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle R$

5. Για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ , ορισμένη στο $\displaystyle R$ ισχύει $\displaystyle a\le f(x)\le b$ για κάθε $\displaystyle x\in R$ , όπου $\displaystyle a,b\in R$ . Τότε :
( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η συνάρτηση έχει πάντα ολικά ακρότατα .
β. Αν $\displaystyle c\in [a,b]$ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle {{x}_{0}}\in R$ ώστε $\displaystyle f({{x}_{0}})=c$
γ. Η συνάρτηση έχει πάντα σύνολο τιμών το $\displaystyle [a,b]$ .
δ. Αν $\displaystyle k\in (-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$ , η εξίσωση $\displaystyle f(x)=k$ είναι αδύνατη .

6. Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f,g$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το $\displaystyle R$ οι οποίες είναι αντίστροφες .
( Βρείτε τη σωστή πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ είναι πάντα αδύνατη .
β. Οι εξισώσεις $\displaystyle f(x)=x$ και $\displaystyle g(x)=x$ είναι πάντα ισοδύναμες
γ. Οι εξισώσεις $\displaystyle f(x)=x$ και $\displaystyle f(x)=g(x)$ είναι πάντα ισοδύναμες
δ. Αν η εξίσωση $\displaystyle f(x)=g(x)$ έχει λύση $\displaystyle {{x}_{0}}$ , τότε το σημείο $\displaystyle M({{x}_{0}},f({{x}_{0}})$ ανήκει πάντα στην ευθεία $\displaystyle y=x$

Υ.Γ. Δείτε αν ξέφυγε κάτι ...

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στις πολύ εύστοχες και διδακτικές, ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής...
1.

: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο.png (16.32 KiB) Προβλήθηκε 2105 φορές

Όπως φαίνεται από την γραφική παράσταση η λάθος πρόταση είναι η γ.

2. Η λάθος πρόταση είναι η β.

3. Ένα παράδειγμα είναι η συνάστηση $f(x)= \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} ,\,\,\, x\neq 0 & \\ 0,\,\,\, x=0& \end{matrix}\right.$ .
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι λάθος πρόταση είναι η α.

4.Θεωρώντας τις συναρτήσεις f(x)=x

και $g(x)= e^{-x}$ .
Μελετώντας τις f+g

, $\dfrac{f}{g}$ ως προς την μονοτονία, διαπιστώνουμε ότι το α. και το β. δεν ισχύουν.
Στη συνέχεια θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x)

. Κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε
ότι η

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. Επομένως η

έχει το πολύ μία λύση στο $\mathbb{R}$ .
Αυτό όμως δεν μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας λύσης. Πχ. αν θεωρήσουμε $f(x)=-e^{-x}$ και $g(x)=e^{-x}$ .
Τέλος για το δ. πάλι κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε ότι η fog

είναι γνησίως φθίνουσα.
Σε αυτήν την ερώτηση κάπου το χάνω ...

5. Ένα ωραίο παράδειγμα στην περίπτωση αυτή είναι η συνάρτηση του Β3 των Πανελληνίων, $f(x)=\frac{e^x}{e^x +1}$ .
Στην περίπτωση αυτή έχουμε a=0

και

.
Εδώ σωστή πρόταση είναι η δ.

6.

: B. Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο.png (198.24 KiB) Προβλήθηκε 2105 φορές

Στην παραπάνω γραφική παράσταση βρίσκουμε αντίστροφη της

την $g(x)=f^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{-x} ,\,\,x<0& \\ -\sqrt[3]{x} ,\,\,\,x\geq 0 & \end{matrix}\right.$

Εδώ σωστή πρόταση είναι η β. , διότι $f(x)=0\Leftrightarrow f^{-1}\left ( f(x) \right )=f^{-1}(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(x)$ .
Τα γ. και δ. ισχύουν μόνο εάν η

είναι γνησίως αύξουσα.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

exdx έγραψε: Τρί Οκτ 10, 2017 12:09 pm Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Για το σημείο $\displaystyle M(x,y)$ του καρτεσιανού επιπέδου ισχύει η σχέση $\displaystyle {{y}^{2}}=4x$ . Τότε :
( Βρείτε τη λάθος πρόταση που συμπληρώνει την παραπάνω )
α. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου
β. Η σχέση παριστάνει μια γραμμή του επιπέδου που βρίσκεται στο 1ο και 4ο τεταρτημόριο
γ. Η σχέση παριστάνει μια συνάρτηση .
δ. Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle y\ge 0$ , τότε η σχέση αυτή παριστάνει μια συνάρτηση .

Κάποιες παρατηρήσεις.
Αντί γραμμή του επιπέδου νομίζω πιο δόκιμο θα ήταν καμπύλη του επιπέδου.
Η σχέση $\displaystyle {{y}^{2}}=4x$ παριστά συνάρτηση.
Την $x=\frac{y^{2}}{4}$
Δεν λέει πουθενά συνάρτηση με μεταβλητή το

.

#4

Καλημέρα Σταμάτη , καλημέρα Σταύρο . Ευχαριστώ για την ενασχόληση

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Δευ Οκτ 16, 2017 1:14 am
4.Θεωρώντας τις συναρτήσεις και $g(x)= e^{-x}$ .
Μελετώντας τις , $\dfrac{f}{g}$ ως προς την μονοτονία, διαπιστώνουμε ότι το α. και το β. δεν ισχύουν.
Στη συνέχεια θεωρούμε την συνάρτηση . Κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε
ότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. Επομένως η έχει το πολύ μία λύση στο $\mathbb{R}$ .
Αυτό όμως δεν μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας λύσης. Πχ. αν θεωρήσουμε $f(x)=-e^{-x}$ και $g(x)=e^{-x}$ .
Τέλος για το δ. πάλι κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Σε αυτήν την ερώτηση κάπου το χάνω ...

Πιο αναλυτικά ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Δευ Οκτ 16, 2017 9:31 am
Κάποιες παρατηρήσεις.
Αντί γραμμή του επιπέδου νομίζω πιο δόκιμο θα ήταν καμπύλη του επιπέδου.
Η σχέση $\displaystyle {{y}^{2}}=4x$ παριστά συνάρτηση.
Την $x=\frac{y^{2}}{4}$
Δεν λέει πουθενά συνάρτηση με μεταβλητή το .

Θα μπορούσα να το αποφύγω όπως προτείνεις ή γράφοντας $\displaystyle {y^2} = 4{x^2}$ .
Η σκέψη ήταν : Αν υποθέσουμε ότι παριστάνει συνάρτηση , τότε στο ζεύγος $\displaystyle M(x,y)$ εξαρτημένη μεταβλητή είναι το $\displaystyle y$ .

Σταμ. Γλάρος · #5

exdx έγραψε: Δευ Οκτ 16, 2017 10:58 am Καλημέρα Σταμάτη , καλημέρα Σταύρο . Ευχαριστώ για την ενασχόληση

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Δευ Οκτ 16, 2017 1:14 am
4.Θεωρώντας τις συναρτήσεις και $g(x)= e^{-x}$ .
Μελετώντας τις , $\dfrac{f}{g}$ ως προς την μονοτονία, διαπιστώνουμε ότι το α. και το β. δεν ισχύουν.
Στη συνέχεια θεωρούμε την συνάρτηση . Κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε
ότι η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. Επομένως η έχει το πολύ μία λύση στο $\mathbb{R}$ .
Αυτό όμως δεν μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας λύσης. Πχ. αν θεωρήσουμε $f(x)=-e^{-x}$ και $g(x)=e^{-x}$ .
Τέλος για το δ. πάλι κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα.
Σε αυτήν την ερώτηση κάπου το χάνω ...
Πιο αναλυτικά ;

Καλησπέρα Γιώργη.
Έχεις δίκιο διότι μου διέφυγε ότι οι ερωτήσεις αφορούν στο 1ο Κεφάλαιο. Έτσι θεώρησα δεδομένη παραγωγισιμότητα, πινακάκια κλπ.
Πάμε, λοιπόν πιο αναλυτικά.
α. Θεωρώ τις συναρτήσεις f(x)=x

και $g(x)= e^{-x}$ . Τότε προκύπτει η $t(x)=x+ e^{-x}$ .
Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα. Τότε έχουμε: $t(-2)<t(-1)\Leftrightarrow -2+e^{2}<-1+e\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow e^2<e+1\Leftrightarrow e(e-1)<1$ .
Άτοπο διότι : e-1>1

,

οπότε πολλαπλάσιάζοντας κατά μέλη προκύπτει : e(e-1)>1

.
Άρα η α. δεν είναι η σωστή πρόταση που συμπληρώνει την αρχική.

β. Θεωρώ πάλι τις συναρτήσεις f(x)=x

και $g(x)= e^{-x}$ . Τότε προκύπτει η $t(x)=\dfrac{x}{e^{-x}}=xe^x$ .
Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα. Τότε έχουμε: $t(-2)<t(-1)\Leftrightarrow -2e^{-2}<-e^{-1}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 2>e$ . Άτοπο.
Άρα η β. δεν είναι η σωστή πρόταση που συμπληρώνει την αρχική.

γ. Θεωρώ τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x)

. Κατασκευαστικά με τη βοήθεια του ορισμού αποδεικνύουμε
ότι η

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1. Επομένως η

έχει το πολύ μία λύση στο $\mathbb{R}$ .
Αυτό όμως δεν μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας λύσης. Πχ. αν θεωρήσουμε $f(x)=-e^{-x}$ και $g(x)=e^{-x}$
έχουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ όπως απαιτεί η αρχική.

: Γ. Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο.png (158.67 KiB) Προβλήθηκε 2023 φορές

Όπως βλέπουμε στην παραπάνω γραφική παράσταση οι συναρτήσεις δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.
Όμως η γ. πρόταση απαιτεί η εξίσωση f(x)=g(x)

να έχει ακριβώς μία λύση.
Άρα ούτε η γ. δεν είναι η σωστή πρόταση που συμπληρώνει την αρχική.

δ. Έστω $x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}$ με $x_{1}< x_{2}$ $\Rightarrow$ $g(x_{1})>g(x_{2})$ $\Rightarrow$
(επειδή η

είναι γησίως φθίνουσα)
$\Rightarrow$ $f(g(x_{1}))> f(g(x_{2}))$ .
(επειδή η

είναι γησίως αύξουσα).
Συνεπώς η fog

είναι γησίως φθίνουσα.
Άρα επίσης η δ. δεν είναι η σωστή πρόταση που συμπληρώνει την αρχική.

Τελικά ποια είναι η σωστή;
Συγγνώμη αν κούρασα...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Σταμάτη καμία δεν είναι σωστή.
Αναφέρομαι στο 4

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ · #7

κατά τη γνώμη μου για να γίνει σωστή η β στο 4 πρέπει η f να παίρνει μη αρνητικές τιμές. $f:R\rightarrow (0,+\propto )$

Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Re: Πολλαπλής επιλογής στο 1ο Κεφάλαιο

Μέλη σε σύνδεση