κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Stef · #1

Άσκηση
Σε τετράπλευρο ABCD

είναι

τα μέσα των AB,CD

Θεωρούμε τα σημεία K,L,T

ώστε:

$\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KC} = 0$
$\overrightarrow{LB} + 3\overrightarrow{LD} = 0$
$\overrightarrow{TM} + 3\overrightarrow{TN} = 0$

Να δειχθεί ότι τα K,L,T

είναι συνευθειακά.
ΚΑΠΟΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ?

#2

Stef, καλωσόρισες στο

Σε παρακαλώ διάβασε τον κανονισμό μας και κυρίως το κομμάτι που αφορά την γραφή σε $\LaTeX$ . Μπορείς να βρεις κάποιες βασικές οδηγίες εδώ: Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου. (Για πρώτη φορά, διόρθωσα την γραφή εγώ.) Επίσης μην γράφεις κεφαλαία σε σημαία που δεν χρειάζεται διότι είναι σαν να φωνάζεις.

Όσον αφορά την άσκηση, πριν δώσουμε την όποια λύση, πες μας τι έχεις δοκιμάσει και μέχρι που έχεις φτάσει.

#3

Stef έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 25, 2017 10:13 pm
Άσκηση
Σε τετράπλευρο είναι τα μέσα των
Θεωρούμε τα σημεία ώστε:

$\overrightarrow{KA} + 3\overrightarrow{KC} = 0$
$\overrightarrow{LB} + 3\overrightarrow{LD} = 0$
$\overrightarrow{TM} + 3\overrightarrow{TN} = 0$

Να δειχθεί ότι τα είναι συνευθειακά.
ΚΑΠΟΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ?

Αρκεί να αποδείξεις ότι δύο διανύσματα που φτιάχνονται από αυτά τα σημεία είναι παράλληλα.

KARKAR · #4

: συνευθειακότητα με διανύσματα.png (10.16 KiB) Προβλήθηκε 1351 φορές

Ισχύει μάλιστα κάτι ισχυρότερο : Το

είναι το μέσο του

.

Υπόδειξη : Είναι $\vec{KT}=\vec{KC}+\vec{CN}+\vec{NT}=....\dfrac{1}{8}\vec{AB}+\dfrac{3}{8}\vec{CD}$

Παρόμοια βρίσκουμε : $\vec{KL}=\dfrac{1}{4}\vec{AB}+\dfrac{3}{4}\vec{CD} =2\vec{KT}$ , ό .έ . δ .

#5

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 26, 2017 9:25 am
πριν δώσουμε την όποια λύση, πες μας τι έχεις δοκιμάσει και μέχρι που έχεις φτάσει.

Ratio · #6

Λύση παίρνοντας ως σημείο αναφοράς

$\vec{KA}+3\vec{KC}=\vec{0} \Leftrightarrow$ $\vec{OA}-\vec{OK}+3\vec{OC}-3\vec{OK}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{OA}+3\vec{OC}=4\vec{OK}$ (1)

Oμοίως από τις υπόλοιπες δοθείσες προκύπτουν οι σχέσεις:
$\vec{OB}+3\vec{OD}=4\vec{OL}$ (2)
$\vec{OM}+3\vec{ON}=4\vec{OT}$ (3)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1),(2) $\vec{OA}-\vec{OB}+3(\vec{OC}-\vec{OD})=4(\vec{OK}-\vec{OL}) \Leftrightarrow \vec{BA}+3\vec{DC}=4\vec{TL}$
$-\vec{AB}+3\vec{DC}=4\vec{LK}$ (4)

Αφαιρούμε κατά μέλη τις (2),(3) $\vec{MB}+3\vec{ND}=4\vec{TL}$ (5)

Όμως $\vec{MB}=\frac{\vec{AB}} {2}$ και $\vec{ND}=-\frac{\vec{DC}}{2}$ οπότε η (5) ισοδύναμα γίνεται
$\frac{1}{2}\vec{AB} -\frac{3}{2} \vec{DC} = 4\vec{TL} \Leftrightarrow \vec{AB}=3\vec{DC}=8\vec{TL}$ (6)

Από την (4) και την (6) προκύπτει ότι $4\vec{LK}=8\vec{TL} \Leftrightarrow \vec{TL}=\frac{1}{2}\vec{LK}$

κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Re: κατεύθυνση β λυκείου άσκηση διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση