Ευλόγως

KARKAR · #1

: Ευλόγως.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Οι πλευρές AB,BC,CA

του τριγώνου μας είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής

προόδου . Η διχοτόμος

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

.

α) Βρείτε το λόγο : $\dfrac{AD}{DS}$

β) Βρείτε συνθήκη , ώστε : $\dfrac{(ABD)}{(CDS)}=\dfrac{3}{2}$ .

Ας την αφήσουμε για ένα 24-ωρο στους υποψήφιους του Θαλή ...

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

a) Αφού έχουμε πως AB, BC, CA

είναι σε αριθμητική πρόοδο, έχουμε πως 2BC=AB+CA

Είναι γνωστό πως BS=CS

.

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο τετράπλευρο ABSC

παίρνουμε πως:

$AB\cdot CS+AC\cdot BS=AS\cdot BC\Leftrightarrow CS(AB+CA)=AS\cdot BC\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2CS\cdot BC=AS\cdot BC\Leftrightarrow 2CS=AS$ .

Αφού $\widehat{DCS}=\widehat{BAS}=\widehat{SAC}$ , άρα τα τρίγωνα ACS

και

είναι όμοια. Επομένως $\dfrac{AS}{CS}=\dfrac{CS}{DS}\Leftrightarrow CS^2=AS\cdot DS$ , άρα αφού 2CS=AS

, έχουμε πως AS=4DS

. Άρα

και επομένως έχουμε πως $\dfrac{AD}{DS}=3$ .

b) Αφού τα τρίγωνα ABD

και

έχουν κοινή γωνία, έχουμε πως:

$\dfrac{(ABD)}{(CDS)}=\dfrac{DA\cdot DB}{DS\cdot DC}=\dfrac{3DB}{DC}$ .

Θέλουμε $\dfrac{(ABD)}{(CDS)}=\dfrac{3}{2}$ , άρα πρέπει $\dfrac{3DB}{DC}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{DC}{DB}=2$ .

Όμως από θεώρημα διχοτόμου έχουμε πως $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{DC}{DB}=2$ . Αφού έχουμε και πως AB+CA=2BC

, προκύπτει πως AB=2x

,

Ευλόγως

Ευλόγως

Re: Ευλόγως

Μέλη σε σύνδεση