Ανάγωγο πολυώνυμο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $x_{1},x_{2},.....x_{n},n\geq 2$

διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.

Θέτουμε $P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{n})+1$

Δείξτε ότι για $n\neq 2,4$

το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.

dement · #2

Έστω

με $Q, R \in \mathbb{Z}[x]$ πολυώνυμα βαθμού μικρότερου του

.

Τότε ισχύει $Q(x_i) = R(x_i) \in \{ 1, -1 \}$ για κάθε i = 1, 2, ..., n

. Αφού το πολυώνυμο Q - R

μηδενίζεται σε

σημεία και δεν έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του

, είναι το μηδενικό. Έτσι τα δύο πολυώνυμα ταυτίζονται και έχουμε P(x) = Q(x)^2

.

Έστω

και $\displaystyle u = \frac{1}{2} (x_{n-1} + x_n)$ . Αφού $n \geqslant 6$ , ισχύει ότι $\displaystyle P(u) - 1 = \prod_{i=1}^n (u - x_i) \leqslant \frac{-1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = - \frac{105}{32}$ οπότε P(u) < 0

και έχουμε άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού $n \geqslant 6$

Είναι και τα n=3,5

(εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)

dement · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pm

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού $n \geqslant 6$
Είναι και τα (εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)

Αφού τα

ταυτίζονται, το

πρέπει να είναι άρτιο.

#5

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 2:22 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:52 pm

dement έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 1:05 pm

Αφού $n \geqslant 6$
Είναι και τα (εννοείται ότι είναι εύκολα αλλά ξεχάστηκαν)
Αφού τα ταυτίζονται, το πρέπει να είναι άρτιο.

Έχουμε βέβαια και τις περιπτώσεις n=2

,

.

Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη, καθώς από την (x-x_1)(x-x_2)+1=(x-p)^2

λαμβάνουμε 2p=x_1+x_2

,

, άρα $x_2=x_1\pm2$ με x_1

τυχόντα ακέραιο.

Στην δεύτερη περίπτωση από την (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)+1=(x-p)^2(x-q)^2

λαμβάνουμε $p+q=\dfrac{S_1}{2}$ , $pq=\dfrac{S_2}{2}-\dfrac{S_1^2}{8}=\dfrac{S_3}{S_1}=\pm\sqrt{S_4+1}$ , όπου S_1, S_2, S_3, S_4

οι συμμετρικές παραστάσεις των x_1, x_2, x_3, x_4

: λίγο δύσκολο να ισχύουν όλες αυτές οι σχέσεις ταυτόχρονα, και μάλιστα για ακεραίους, αλλά ... προς το παρόν δεν βλέπω κάποιον γρήγορο τρόπο αποκλεισμού αυτής της πιθανότητας... (Για x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4

, για παράδειγμα, οι σχέσεις ισχύουν ... αλλά οι p, q

δεν είναι ακέραιοι.)

dement · #6

Όμως στην περίπτωση n=4

η αναγωγή δεν χρειάζεται να είναι στη μορφή (x-p)^2 (x-q)^2

. Αρκεί η μορφή (x^2 + px + q)^2

. Έτσι, για παράδειγμα, έχουμε

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 1 = (x^2 - 5x + 5)^2

#7

dement έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 04, 2017 1:19 am
Όμως στην περίπτωση η αναγωγή δεν χρειάζεται να είναι στη μορφή . Αρκεί η μορφή . Έτσι, για παράδειγμα, έχουμε

Πολύ σωστά, και αυτό λύνει το πρόβλημα πλήρως, καθώς αρκεί να παραγοντοποιείται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων (και να έχει ακέραιες ρίζες) το πολυώνυμο

(x^2+px+q)^2-1=(x^2+px+q-1)(x^2+px+q+1),

οπότε από τις διακρίνουσες των δύο παραγόντων λαμβάνουμε p^2-4q+4=m^2

και

για ακέραιους m, n,

άρα

με μόνες πιθανές λύσεις τις $m=\pm3, n=\pm1$ . Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε στην εξίσωση p^2-4q-5=0

, η γενική λύση της οποίας είναι

$p=4k\pm1, q=4k^2\pm2k-1.$

Οι αντίστοιχες λύσεις των δευτεροβαθμίων x^2+px+q-1=0

και

είναι τώρα είτε της μορφής x_1=-2k-2, x_2=-2k+1

και

(περίπτωση p=4k+1

) είτε της μορφής x_1=-2k-1, x_2=-2k+2

και

(περίπτωση p=4k-1

). Οι αντίστοιχες ταυτότητες είναι

(x-(-2k-2))(x-(-2k+1))(x-(-2k-1))(x-(-2k))+1=(x^2+(4k+1)x+4k^2+2k-1)^2,

#8

Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι το πολυώνυμο (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)+1

είναι μη ανάγωγο στους ακέραιους (ακριβέστερα τετράγωνο τριωνύμου χωρίς ακέραιες ρίζες*) αν και μόνον αν οι x_1, x_2, x_3, x_4

είναι διαδοχικοί ακέραιοι. (Και ως απλό πόρισμα λαμβάνουμε ένα γνωστό και βεβαίως πολύ ευκολότερο αποτέλεσμα: το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων συν ένα είναι τέλειο τετράγωνο (του γινομένου του πρώτου επί τον τελευταίο συν ένα).)

*η διακρίνουσα του τριωνύμου $x^2+(4k\pm1)x+4k^2\pm2k-1$ ισούται προς

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 01, 2017 12:11 am
Εστω $x_{1},x_{2},.....x_{n},n\geq 2$

διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι.

Θέτουμε $P(x)=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{n})+1$

Δείξτε ότι για $n\neq 2,4$

το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στους ακεραίους.

Για μία πραλλαγή της λύσης βλέπε την Άσκηση 3 εδώ.

Ανάγωγο πολυώνυμο

Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Re: Ανάγωγο πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση