Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 21
Για πραγματικούς θέτουμε . Αν , να αποδειχθεί ότι .
Για πραγματικούς θέτουμε . Αν , να αποδειχθεί ότι .
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 11, 2017 8:14 amΑΣΚΗΣΗ 21
Για πραγματικούς θέτουμε . Αν , να αποδειχθεί ότι .
Ας είναι εξίσωση με ρίζες τις όπου
Είναι
Επίσης (αν κάποιος είναι ίσος με μηδέν, ισχύει προφανώς)
άρα .
Είναι ακόμα
αφού προφανώς
Τέλος, είναι
Η ζητούμενη είναι πλέον φανερή.
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Καλησπέρα σας κ.Λάμπρου και χρόνια πολλά!
Ορίζουμε .
Αρχικά θα δείξουμε ότι:
.
Πράγματι: =
.
Στην συνέχεια παρατηρούμε ότι:
άρα
εάν είναι ρίζες του τότε είναι και του .
Πράγματι .
Το πολυώνυμο έχει βαθμό άρα και το πολύ ρίζες, αφού όμως τότε:
είναι οι ρίζες της εξίσωσης.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Κλέβοντας από την λύση, μπορούμε να δείξουμε επαγωγικά ότι , από όπου αμέσως οι ρίζες.
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άλλη μία λύση, βασιζόμενος στο πως μοιάζει ο κάθε όρος.
Η εξίσωση γράφεται
Όμως από γνωστή ταυτότητα το αριστερό μέλος ισούται με
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 23
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Έστω φυσικοί τέτοιοι ώστε: .Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 29, 2017 5:25 pmΑΣΚΗΣΗ 23
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
Έστω με .
Τότε . (1)
Όμως . (2)
Αφαιρώντας την (2) από την (1) έχουμε: .
Αφού όμως πρέπει άρα
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 24
Έστω πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί με και για . Δείξτε ότι κάθε ρίζα της ικανοποιεί .
Έστω πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί με και για . Δείξτε ότι κάθε ρίζα της ικανοποιεί .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Στο ίδιο μήκος κύματος με τον Σιλουανό.
Εκτός φακέλλου.
Γράφω ακριβώς πως πήγε η σκέψη μου
Για
είναι
Η εξίσωση γράφεται
(0)
Ειναι γνωστό ότι
για σε κατάλληλο διάστημα.
Προκύπτει άμεσα η
(1)
Αν τότε
για είναι
και η (1) ισχύει για και άρα για
Δηλαδή
Η τελευταία έχει ρίζες τα
Ετσι η (0) έχει ρίζες τα
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αν θέσουμε τότε ο Ευκλείδιος αλγόριθμος για ταMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 29, 2017 5:25 pmΑΣΚΗΣΗ 23
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
μεταβιβάζεται στα
Αυτό συμβαίνει γιατί αν
τότε
Ετσι παίρνουμε το ζητούμενο.
Να σημειώσω ότι ισχύει για πολυώνυμα τέτοιας μορφής σε οποιοδήποτε σώμα.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Έστω ότι υπάρχει ρίζα μεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 29, 2017 7:51 pmΑΣΚΗΣΗ 24
Έστω πραγματικοί (ή μιγαδικοί) αριθμοί με και για . Δείξτε ότι κάθε ρίζα της ικανοποιεί .
Τότε λόγω της παίρνουμε
άτοπο διότι . Άρα για όλες τις ρίζες της εξίσωσης ισχύει
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 25
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
Να αποδειχθεί ότι για φυσικούς με , το διαιρεί το αν και μόνον .
Μάγκος Θάνος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αν τότε
που δείχνει την μία κατεύθυνση. Αντίστροφα (με χρήση των απαγορευμένων μιγαδικών) αν διαιρεί το τότε η ρίζα του αριστερού θα είναι ρίζα του δεξιού, του οποίου όμως ξέρουμε όλες τις ρίζες: Είναι οι . Έτσι, υπάρχει με , οπότε για κάποιο είναι . Άρα , όπως θέλαμε.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μία εύκολη.
ΑΣΚΗΣΗ 26
Αν θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο διαιρεί το
ΑΣΚΗΣΗ 26
Αν θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο διαιρεί το
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Αρκεί να δείξω ότι αν ένας αριθμός είναι ρίζα του πρώτου πολυωνύμου, τότε είναι και του δευτέρου, έστω μία ρίζα του πρώτου, έχω:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 10:18 amΜία εύκολη.
ΑΣΚΗΣΗ 26
Αν θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο διαιρεί το
Θα χρησιμοποιήσω το εξής γνωστό:
Αν
καθότι:
με την χρήση αυτού έχω :
Άρα κάθε ρίζα του πρώτου είναι και ρίζα του δεύτερου και το ζητούμενο έπεται.
Αρμενιάκος Σωτήρης
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Και διαφορετικά:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 10:18 amΜία εύκολη.
ΑΣΚΗΣΗ 26
Αν θετικοί φυσικοί αριθμοί, δείξτε ότι το πολυώνυμο διαιρεί το
Ας είναι
Είναι .
Όμως
και κάθε παρένθεση είναι της μορφής
Μάγκος Θάνος
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Έχετε δίκιο, προσθέτω περαιτέρω αιτιολόγηση, συγκεκριμένα θα δείξουμε ότι κάθε ρίζα έχει πολλαπλότητα 1.
Με απευθείας υπολογισμό βλέπουμε ότι το 1 δεν αποτελεί ρίζα, κάνω ακριβώς το ίδιο με πριν:
βρίσκουμε τις κ-1 ρίζες:
(κανονικά θα είχαμε και λύση για που απορρίπτεται)
και αφού το πλήθος των (διακεκριμένων) ριζών είναι ίσες με τον βαθμό του πολυωνύμου όλες έχουν πολλαπλότητα 1 και νομίζω ότι τώρα είναι επαρκής η αιτιολόγηση.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Μόλις την παρέλαβα για επίλυση, από Ρουμανία. Την τοποθετώ στον παρόντα φάκελο αν και θυμίζει άσκηση
Θεωρίας Αριθμών, γιατί ο ίδιος την έλυσα με πολυώνυμα.
ΑΣΚΗΣΗ 27
Δείξτε ότι αν ο αριθμός είναι πρώτος, τότε για κάποιο φυσικό .
Θεωρίας Αριθμών, γιατί ο ίδιος την έλυσα με πολυώνυμα.
ΑΣΚΗΣΗ 27
Δείξτε ότι αν ο αριθμός είναι πρώτος, τότε για κάποιο φυσικό .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες