Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ όλους !

: 12-11-17 Ο χρυσός Φ και τριγωνομετρικοί αριθμοί.PNG (5.27 KiB) Προβλήθηκε 1019 φορές

Στο εγγράψιμο ABCD

είναι $B\widehat{C}D=2D\widehat{A}C=6B\widehat{A}C$ .

Αν δοθούν AC=4

και $\left ( BCD \right )=\sqrt{\Phi +2}$ όπου $\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

1) Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( ABCD \right )=2\Phi \left ( BCD \right )$

Αν

η τομή των διαγωνίων AC,BD

και τα $E_{AH},E_{CH}$ εκφράζουν τα εμβαδά των ημικυκλίων με διαμέτρους AH,CH

αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί η.. ακεραιότητα του λόγου $\dfrac{E_{AH}}{E_{CH}}$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 12, 2017 2:22 pm
Χαιρετώ όλους !
12-11-17 Ο χρυσός Φ και τριγωνομετρικοί αριθμοί.PNG
Στο εγγράψιμο είναι $B\widehat{C}D=2D\widehat{A}C=6B\widehat{A}C$ .

Αν δοθούν και $\left ( BCD \right )=\sqrt{\Phi +2}$ όπου $\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

1) Να εξεταστεί αν ισχύει $\left ( ABCD \right )=2\Phi \left ( BCD \right )$

Αν η τομή των διαγωνίων

και τα $E_{AH},E_{CH}$ εκφράζουν τα εμβαδά των ημικυκλίων με διαμέτρους αντίστοιχα τότε :

2) Να εξεταστεί η.. ακεραιότητα του λόγου $\dfrac{E_{AH}}{E_{CH}}$ .

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα!

Από την υπόθεση εύκολα βρίσκουμε $B\widehat CD=108^0, B\widehat AC=B\widehat DC=18^0, C\widehat AD=C\widehat BD=54^0$

: Ο Χρυσός αριθμός Φ.png (18.95 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

$\displaystyle (BCD) = \sqrt {\Phi + 2} \Leftrightarrow \frac{{BC \cdot CD}}{2}\sin {108^0} = \frac{{\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{BC\cdot CD=4}$ (1)

Νόμος ημιτόνων στο BCD:

$\displaystyle \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{\sin {{18}^0}}}{{\sin {{54}^0}}} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{\sqrt 5 + 1}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} BC = \sqrt 5 - 1,CD = \sqrt 5 + 1$

και με νόμο ημιτόνων στο ABC

προκύπτει ότι οι γωνίες $\widehat B, \widehat D$ του τετραπλεύρου είναι ορθές.

Με Πυθαγόρειο Θεώρημα τώρα βρίσκω, $\displaystyle AB =BD= \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } , AD = \sqrt {10 - 2\sqrt 5 }$

$\displaystyle (ABCD) = \frac{{AC \cdot BDsin{{54}^0}}}{2} = 2\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } \frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = 2\Phi \sqrt {\Phi + 2} = 2\Phi (BCD)$

Με νόμο συνημιτόνων στο AHD

βρίσκω, $AH=5-\sqrt 5$ κι επειδή AC=4,

θα είναι $HC=\sqrt 5-1$

$\boxed{\frac{{{E_{AH}}}}{{{E_{CH}}}} = {\left( {\frac{{AH}}{{CH}}} \right)^2} = 5}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ . Να ευχαριστήσω (με ..καθυστέρηση) τον Γιώργο για την τακτοποίηση και του παρόντος !
Υποβάλλω στη συνέχεια και προσωπική προσέγγιση
Το ABCD

είναι εγγράψιμο και εύκολα βρίσκουμε -όπως έγραψε κι' ο Γιώργος -
$B\widehat CD=108^0, B\widehat AC=B\widehat DC=18^0, C\widehat AD=C\widehat BD=54^0$

Το τρίγωνο BCD

είναι του τύπου $\left ( 18^{0} ,54^{0},72^{0}\right )$ οπότε $\left ( BCD \right )=2R ^{2} \cdot\eta \mu 18^{0}\cdot \eta \mu 54^{0}\cdot \eta \mu 72^{0}$ . Θεωρώντας γνωστά ότι

$\eta \mu 18^{0}=\dfrac{1}{2\Phi }..\eta \mu 54^{0}=\dfrac{\Phi }{2}..\eta \mu 72^{0}=\dfrac{\sqrt{\Phi +2}}{2}$ προκύπτει $(BCD)=..=\dfrac{R^2{\sqrt{\Phi +2}}}{4}$ άρα λόγω και του δεδομένου παίρνουμε

$R^{2}=4\Rightarrow R=2$ ενώ AC=4=2R

συνεπώς οι γωνίες $\widehat B, \widehat D$ του τετραπλεύρου είναι ορθές.Έχουμε λοιπόν το σχήμα :

: 2-12-17 ..Φ.PNG (11.29 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Βρίσκουμε $BD=2R\eta \mu A=4\cdot \eta \mu 72^{0}=2\sqrt{\Phi +2}$ και $A\widehat{H}D=36^{0}+18^{0}=54^{0}$

οπότε $\left ( ABCD \right )=\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\cdot \eta \mu 54^{0}=2\Phi \sqrt{\Phi +2}=2\Phi \left ( BCD \right )$

Ακόμη έχουμε $\dfrac{{{E_{AH}}}}{{{E_{CH}}}} = {\left( {\dfrac{{AH}}{{CH}}} \right)^2}$ ενώ ισχύει $\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{\left ( ABH \right )}{\left ( BCH \right )} =\dfrac{\eta \mu 36^{0}BH\cdot AB/2}{\eta \mu 54^{0}BH\cdot BC/2}=\dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{\eta \mu 36^{0}}{\eta \mu 54^{0}}$

και στο ορθ. ABC

είναι $\dfrac{AB}{BC}=\sigma \varphi 18^{0}$ . Τελικά προκύπτει $\boxed{\frac{E_{AH}}{E_{CH}}=..=\left ( \dfrac{\Phi +2}{\Phi } \right )^{2}=5}$

Φιλικά Γιώργος .

Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Re: Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Re: Ο Χρυσός αριθμός Φ σε εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση