Εξίσωση τετάρτου βαθμού!

Datis-Kalali · #1

Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιουν την εξίσωση
(2x^2+5x+9)^2=56(x^3+1)

#2

Καλημέρα σε όλους. Επειδή δεν έχω εμπειρία από προχωρημένα θέματα διαγωνισμών επιπέδου juniors, φαντάζομαι ότι θα υπάρχει αλγεβρική λύση. Προφανώς δεν μπορεί να ζητάμε από μικρής ηλικίας μαθητές κάτι σαν το παρακάτω, που είναι απλά μια βασανιστική διαδικασία ρουτίνας:

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle f:\;R \to R$ με $\displaystyle f\left( x \right) = {\left( {2{x^2} + 5x + 9} \right)^2} - 56\left( {{x^3} + 1} \right)$ , η οποία έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = 16{x^3} - 108{x^2} + 122x + 90$ .

Σχετικά εύκολα (αλλά με ανιαρές πράξεις με το σχήμα Horner) βρίσκουμε ότι είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8{x^3} - 54{x^2} + 61x + 45 \Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {8{x^2} - 58x + 90} \right) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\;\;\; \vee x = \frac{9}{4}\;\; \vee \;\;x = 5$ .

Οπότε $\displaystyle f'\left( x \right) = 4\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {4x - 9} \right)$ .

Με πίνακα προσήμων παραγώγου βρίσκουμε ότι η

έχει τοπικά ελάχιστα στα σημεία με τετμημένη $\displaystyle x = - \frac{1}{2}\;\; \wedge \;\;x = 5$ , στα οποία και μηδενίζεται, ενώ παντού αλλού είναι θετική, οπότε οι ρίζες της f(x)=0

είναι $\displaystyle x = - \frac{1}{2}\;\; \wedge \;\;x = 5$ .

dement · #3

Γιώργο, καλημέρα και καλή Κυριακή. Υπάρχει αλγεβρική λύση.

Ιστοσελίδα · #4

Καλημέρα σε όλους.

$\begin{array}{l} {(2{x^2} + 5x + 9)^2} - 56({x^3} + 1) = 0 \Leftrightarrow \\ {\left[ {2({x^2} - x + 1) + 7(x + 1)} \right]^2} - 56(x + 1)({x^2} - x + 1) = 0\,\,(1) \end{array}$

Για ${x^2} - x + 1 = k\, \wedge \,x + 1 = m$ η (1)

γίνεται ${(2k + 7m)^2} - 56mk = 0 \Leftrightarrow {(2k - 7m)^2} = 0$

Οπότε μετά από αντικατάσταση και πράξεις η αρχική γίνεται:

${(2{x^2} - 9x - 5)^2} = 0 \Leftrightarrow {(2x + 1)^2}{(x - 5)^2} = 0$

#5

Datis-Kalali έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2017 10:21 am Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιουν την εξίσωση

Καλημέρα!

Κάνω όλες τις πράξεις και καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle 4{x^4} - 36{x^3} + 61{x^2} + 90x + 25 = 0 \Leftrightarrow 4{x^4} - 36{x^3} - 20{x^2} + 81{x^2} + 90x + 25 = 0$

$\displaystyle (4{x^4} - 20{x^2} + 25) - 18x(2{x^2} - 5) + 81{x^2} = 0 \Leftrightarrow {(2{x^2} - 5)^2} - 2 \cdot 9x(2{x^2} - 5) + {(9x)^2} = 0$

$\displaystyle {(2{x^2} - 9x - 5)^2} = 0 \Leftrightarrow {(2x + 1)^2}{(x - 5)^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = - \frac{1}{2} \vee x = 5}$

ΥΓ: Την έλυσα πρώτα με Horner και αφού βρήκα τις ρίζες την προσάρμοσα στην παραπάνω παραγοντοποίηση,
την οποία θεωρώ τραβηγμένη για Γυμνάσιο.

dement · #6

Στη δική μου περίπτωση, αντικατέστησα το

με

στην

απαλείφοντας τον τριτοβάθμιο όρο και διαπίστωσα ότι φεύγει και ο πρωτοβάθμιος. Έτσι, μένουμε με την διτετράγωνη εξίσωση

$\displaystyle \left( 2u^2 - \frac{121}{8} \right)^2=0$ που μας δίνει τις λύσεις $\displaystyle u = \pm \frac{11}{4} \Longleftrightarrow x \in \left\{ - \frac{1}{2}, 5 \right\}$ .

#7

Ωραίες όλες οι προσπάθειες, αλλά όταν βιάζεται κανείς και δεν είναι αυτό το κύριο θέμα

της αναζήτησής του, τότε μπορεί να επικαλεστεί και τη βοήθεια λογισμικού.

Για παράδειγμα στο Geogebra δραστηριοποιούμε το περιβάλλον του CAS,

γράφουμε την εξίσωση και με ένα κλίκ βλέπουμε τη λύση,όπως στο παρακάτω σχήμα:

: Cas(Geogebra).png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 1808 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#8

Κώστα καλημέρα!

Πρέπει να παραδεχτώ ότι πρώτα σχεδίασα το γράφημα στο Geogebra για να βεβαιωθώ ότι έχει ρητή ρίζα και κατόπιν ξεκίνησα την επίλυση με τις παραγώγους. Γι' αυτό και έγραψα το παραπάνω σχόλιο. Με τη σιγουριά πού μάς δίνει η τεχνολογία κάνουμε τα δύσκολα εύκολα, αλλά χάνουμε και την ικανότητά μας να αντιμετωπίζουμε τέτοιες περιπτώσεις με τεχνάσματα, όπως ο Μιχάλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης έδειξαν παραπάνω. Βέβαια κι εδώ τίθεται το φιλοσοφικό ερώτημα για το αν η δεξιότητα επίλυσης εξισώσεων και μελέτης συνάρτησης είναι πλέον απαραίτητη ή θα την αφήσουμε στα μηχανήματα; Θυμηθείτε ότι παλαιότερα διδάσκονταν οι διαδικασίες προσέγγισης ριζών ή λογαρίθμων με αλγεβρικούς αλγόριθμους.

Με την ευκαιρία θυμήθηκα το σχετικό απόσπασμα από το άρθρο για την Αριθμοφοβία στον Απολλώνιο τ. 3, λίγο μετά τις πανελλήνιες του 2003. Αντιγράφω από ΕΔΩ, σελ. 32.

Αναφερόμαστε στα φαινόμενα ενίσχυσης της Αριθμοφοβίας στις Εξετάσεις:

Στα μαθηματικά Γ΄ Λυκείου Γεν. Παιδείας τον Μάϊο του 2003 στο 4ο θέμα, μετά από πράξεις, φτάναμε στο σημείο όπου έπρεπε να συγκριθούν οι αριθμοί $\displaystyle C{V_A} = \frac{{\sqrt {69} }}{{15}}\;\;\kappa \alpha \iota \;\;C{V_B} = \frac{{\sqrt {123} }}{{24}}$ .

Πολλοί μαθητές βρέθηκαν σε δυσκολία ή ακόμα και σε αδιέξοδο, προσπαθώντας να υπολογίσουν τις ρίζες σε δεκαδική προσέγγιση και να κάνουν μετά τις διαιρέσεις. Πολλοί λαχταρούσαν να είχαν μαζί τους ένα τόσο δα μικρό κομπιουτεράκι για να κάνουν τις πράξεις.

Δεν το μέμφομαι αυτό˙ είναι φυσιολογικό να συμβαίνει. Παλαιότερα διδασκόταν στα Λύκεια αλγόριθμοι υπολογισμού λογαρίθμων και ριζών. Σήμερα βέβαια αυτό φαίνεται μακρινό παρελθόν.

Αυτό που μου κακοφάνηκε ήταν διάφορες "λύσεις" που δημοσιεύτηκαν σε εφημερίδες και στο διαδίκτυο της μορφής: $\displaystyle C{V_A} = \frac{{\sqrt {69} }}{{15}}\; \approx 0,5553\;\;\kappa \alpha \iota \;\;C{V_B} = \frac{{\sqrt {123} }}{{24}} \approx 0,4621$ , άρα CV_A > CV_B

κ.λπ.

Η Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων, στις ενδεικτικές λύσεις, αφήνει τους αριθμούς σε μορφή άρρητων και αποφαίνεται ότι προφανώς CV_A > CV_B!

Η αυθαίρετη, υπεροπτική στάση του ειδήμονα, που από την πολυθρόνα του λύνει το "γόρδιο δεσμό" με σπαθί το κομπιουτεράκι του, είναι ο ορισμός του υπεύθυνου για την αριθμοφοβία των μαθητών.

Τι θα πεις στον μαθητή που θα σε ρωτήσει: "Για να μπω στην Νομική, πρέπει να κάνω με το μυαλό μου αυτές τις πράξεις, όπως βλέπω στις λύσεις που μου δίνετε; Αυτό ζητούσαν από μένα;"

Όχι βέβαια˙ δεν ζητείται η χρήση αλγόριθμου για την εξαγωγή των ριζών, αλλά απλά προσεγγίσεις τους π.χ. με διαδοχικά φράγματα. Δείχνει ευχέρεια στις πράξεις και κριτική ικανότητα μία απλή αντιμετώπιση, όπως η παρακάτω:

$\displaystyle C{V_A}\, = \,\frac{{\sqrt {69} }}{{15}}\, > \,\frac{{\sqrt {64} }}{{15}}\, = \,\frac{8}{{15}}\, > \,0,5\;\,\kappa \alpha \iota \,\;C{V_B}\, = \,\frac{{\sqrt {123} }}{{24}}\, < \,\frac{{\sqrt {144} }}{{24}}\, = \,\frac{{12}}{{24}}\, = \,0,5$ άρα CV_A > CV_B

.

Όταν θα διδάξουμε παρόμοια θέματα στις τάξεις, θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί στη χρήση υπολογιστών. Θα πρέπει να μας βλέπουν οι μαθητές να αντιμετωπίζουμε με τους ίδιους με αυτούς όρους τις ασκήσεις και όχι από θέση ισχύος με τα "χαρτιά στημένα". Μια τέτοια στάση τους φέρνει πιο κοντά στα μαθηματικά και υπερνικά τον φόβο τους.

#9

Φίλε Γιώργο καλημέρα.

Το θέμα που αγγίζεις είναι πολύ σοβαρό και απασχολεί όλους μας, επικεντρώνεται στο διαχρονικό
ερώτημα:

"Ποιά πρέπει να είναι η στάση του ανθρώπου ενώπιον των κάθε είδους εξελίξεων
της επιστήμης και της τεχνολογίας;" (Ερώτημα 1)

Ειδικότερα το σχολείο, βρίσκεται πάντα σε έναν προβληματισμό:

"Ποιές μέθοδοι πλέον πρέπει να αντικασταθούν ως ξεπερασμένες, και τί καινούργιο πρέπει να
υιοθετηθεί;" (Ερώτημα 2)

Οι απαντήσεις στα δυο αυτά ερωτήματα είναι δύσκολες και απαιτούν περίσκεψη, γνώση και βαθειά μελέτη.
Ακόμα προϋποθέτουν τοπίο χωρίς προκαταλήψεις και ιδεοληψίες, όχι φανατισμό και άσκοπες εμμονές σε
ξεπερασμένα μοτίβα. Διαφορετικά, τα πράγματα μας ξεπερνούν χωρίς καν να το αντιληφθούμε. Η ιστορία έχει
πολλά να μας διδάξει.

Πολύ καλά αναφέρεις το πόσο εγκαταλείφθηκαν εκείνες οι μέθοδοι υπολογισμού των τετραγωνικών και κυβικών
ριζών των αριθμών(σπουδαία μαθηματικά που ταλάνιζαν τους μαθητές στη χώρα μας κατά τον 19ο αιώνα ακόμα και κατά
τον εικοστό αιώνα. Θυμίζω ότι τις αποδείξεις των αλγόριθμων της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας τις πρωτόφερε
ο Ευγένιος Βούλγαρης στη μετάφραση της Άλγεβρας του Σέγνερου, κατά την περίοδο του Νεοελληνικού Διαφωτισμού!)

Αναφέρεις ακόμα τους λογάριθμους, τους λογαριθμικούς πίνακες, τους τριγωνομετρικούς πίνακες, συμπληρώνω ακόμα
τους λεγόμενους ημιαρνητικούς λογάριθμους, κλπ ... κι όλα αυτά προς χάριν του λογισμού και της προσπάθειας να
φθάσουμε σε ένα χρήσιμο και πρακτικό αποτέλεσμα.

Όλα αυτά σήμερα έφυγαν από τη διδακτέα ύλη του σχολείου, έφυγαν κι άλλα σημαντικά που ίσως δεν θά 'πρεπε, ήρθαν
άλλα, στάθηκαν για λίγο και μετά πάλι άλλα κι άλλα...

Οι ρυθμοί είναι ταχείς, σήμερα όλα τρέχουν με ταχύτητες μεγάλες...
...........................................
Για να απολογηθώ για το μήνυμα που έστειλα σήμερα σχετικά με τη λύση της εξίσωσης αυτής
θυμίζω ότι την έστειλα λέγοντας:

"Ωραίες όλες οι προσπάθειες, αλλά όταν βιάζεται κανείς και δεν είναι αυτό το κύριο θέμα
της αναζήτησής του, τότε μπορεί να επικαλεστεί και τη βοήθεια λογισμικού."

Κι ακόμα θέτω τον προβληματισμό:

"Σε ποιο βαθμό ένα λογισμικό καθίσταται ωφέλιμο και δημιουργικό στη δουλειά του δάσκαλου,
του ερευνητή, κι ακόμα περισσότερο του μαθητή;"

Φιλικά

Κώστας Δόρτσιος

Εξίσωση τετάρτου βαθμού!

Εξίσωση τετάρτου βαθμού!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Re: 4ο βαθμό εξίσωση!

Μέλη σε σύνδεση